Question

PRECISO ATÉ O DIA 02/09/2021
A aceleração de uma partícula que se desloca no eixo dos x está definida pela relação ax=−k/x². A partícula parte do repouso em x=800mm, e em x=500mm a componente x da sua velocidade é+6m/s. Calcule:

(a) O valor dek.

(b) A velocidade da partícula em x=250 mm

Answer 1

Resposta:

a) k = 3

b) v = 12m/s

Explicação:

Visto que o problema apresenta a velocidade em m/s, primeiro passo é realizar a conversão

A aceleração de uma partícula que se desloca no eixo dos x está definida pela relação ax=−k/x². A partícula parte do repouso em x=0,8m, e em x=0,5m a componente x da sua velocidade é 6m/s

Primeiro passo para a interpretação é eliminar distratores:

A aceleração de uma partícula que se desloca no eixo dos x (...) a componente x da sua velocidade

Se a partícula se move somente em um eixo, está se movendo em linha reta

Agora, interprete os dados

Fórmula da aceleração da partícula

Ax = -k/x²

Partícula em repouso → V = 0

X        →      V

0,8m  →   0m/s

0,5m  →   6m/s

Agora, é necessário achar a função da velocidade para poder relacionar k aos valores conhecidos.

Em cálculo, aprende-se que a derivada demonstra a taxa de mudança de uma função. E o que é aceleração senão a taxa de mudança da velocidade? Logo concluímos que a função(ou pra ficar mais fácil, a fórmula) da aceleração, é uma derivada da função(fórmula) da velocidade, que é o que precisamos!

Para achar a função(fórmula) primitiva(ou seja, antes de ser derivada), usamos uma ferramenta que chamamos de integral

Portanto:

∫$\frac{-k}{x^{2} }$

Agora é só realizar as deduções e contas de uma integral:

∫-k*$x^{-2}$ dx → -k*∫$x^{-2}$ dx → -k*∫$\frac{x^{-1} }{-1}$ → $\frac{-k}{-1x}$

Simplificando, temos

$\frac{k}{x}$

Ou seja, a função da velocidade é

v = $\frac{k}{x}$

Agora usando nossa tabela:

X        →      V

0,8m    →   0m/s

0,5m    →   6m/s

0,25m  →   ??m/s

Manipulação:

v = k / x → k = v * x

Substituindo:

k = 6*0,5 → k = 3

Com o valor de K, encontramos facilmente o valor de V para x = 0,25

v = k / x

Substituindo:

V = 3 / 0,25 → 12m/s