Question

Encontre a solução da equação:

(n-1)! - (n-2)!/(n-3)!=1​

Answer 1

Resposta:

n = 3

Explicação passo a passo:

Noção de fatorial de um número  → é o produto desse número pelos seus

antecessores até 1, inclusive.

Exemplo

7 ! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1  = 5 040

Parar o cálculo do fatorial para efeitos de simplificação de frações.

Exemplo

$\dfrac{9!}{6!} =\dfrac{9*8*7*6!}{6!} = 9 * 8 * 7 = 504$

Este tipo de operação é fácil e de frequente uso.

Vai acontecer neste exercício

$\dfrac{(n-1)!-(n-2)!}{(n-3)!} =1$

Noção prévia :

( n - 1) ! = ( n - 1) * ( n - 1 - 1) * ( n - 1 - 1 - 1 ) etc

( n - 1) ! = ( n - 1) * ( n - 2) * ( n - 3 ) etc

$\dfrac{(n-1)*(n-2)*(n-3)!-(n-2)*(n-3)!}{(n-3)!} =1$

Colocar, no numerador, o  (n - 3 ) ! em evidência, porque é comum.

Depois disso ele cancela-se com o denominador

$\dfrac{(n-3)! ((n-1)*(n-2)-(n-2))}{(n-3)!} =1$

$(n-1)*(n-2)-(n-2) =1$

Aplicação da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição

algébrica.

n * n + n * ( - 2 ) - 1 * n - 1 * ( - 2 ) - n + 2 = 1

n² - 2n  - n + 2 - n + 2 - 1 = 0

n² - 4n + 4 - 1 = 0

n² - 4n + 3= 0

Fórmula de Bhaskara

n² - 4n + 3= 0

x = ( - b ± √Δ ) / ( 2a)                  com Δ = b² - 4 * a * c            a ≠ 0

a =   1

b = - 4

c =   3

Δ = ( - 4)² - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4

√Δ = √4 = 2

x1 = ( - ( - 4 ) + 2 ) / ( 2 * 1 )

x1 = ( + 4 + 2 ) / 2

x1 = 6/2

x1 = 3

x2 =  ( - ( - 4 ) - 2 ) / ( 2 * 1 )

x2 =  ( 4 - 2 ) / 2

x2 =  2 / 2

x2 = 1

Verificação das soluções encontradas

x = 1

$\dfrac{(1-1)!-(1-2)!}{(1-3)!} =1$

$\dfrac{0!-(-1)!}{(-2)!} =1$    

Não podemos usar o x = 1 porque conduz a fatoriais de números

negativos.

Isso não existe.

Observação :   0 ! = 1   e  1! = 1

x = 3

$\dfrac{(3-1)!-(3-2)!}{(3-3)!} =1$

$\dfrac{2!-1!}{0!} =1$

$\dfrac{2*1-1}{1} =1$

$\dfrac{2-1}{1} =1$

$\dfrac{1}{1} =1$

1 = 1    Verdadeiro ;  3 é a única solução

Bons estudos.

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( ! ) fatorial       ( ≠ ) diferente     ( x ) multiplicação