Question

Verifique se y = 2 + C.e^(-x³) é solução da equação diferencial y' + 3x²y = 6x²

Answer 1

Resposta: sim, y = 2 + C · e^(-x³) é uma solução.

Para verificar se é solução, basta substituir y na eq. diferencial:

$y'+3x^2y=6x^2$

$\big(2+C\cdot e^{-\,x^3}\big)'+3x^2(2+C\cdot e^{-\,x^3})=6x^2$

$(2)'+\big(C\cdot e^{-\,x^3}\big)'+3x^2\cdot2+3x^2\cdot C\cdot e^{-\,x^3}=6x^2$

$0+C\cdot(-\,3x^2)\cdot e^{-\,x^3}+6x^2+3\,C\cdot e^{-\,x^3}x^2=6x^2$

$-\,3\,C\cdot e^{-\,x^3}x^2+6x^2+3\,C\cdot e^{-\,x^3}x^2=6x^2$

$\cancel{(-\,3\,C\cdot e^{-\,x^3}x^2)}+\cancel{(3\,C\cdot e^{-\,x^3}x^2)}+6x^2=6x^2$

$0+6x^2=6x^2$

$6x^2=6x^2$

Como a igualdade é verdadeira, de fato, y = 2 + C · e^(-x³) é uma solução para y' + 3x²y = 6x².

Obs.: ao derivar e^(-x³) repetimos a base e multiplicamos pela derivada do expoente.

Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.