Question

1Com relação à integração numérica, o método 1/3 de Simpson Generalizado consiste em aplicar o método de Simpson tantas vezes quantas forem os pontos em que conheçamos o valor da função f. Consideremos então o intervalo [2, 3], e vamos aplicar este método para a função f, supondo n = 4. Se utilizarmos 4 casas decimais nos cálculos, o valor encontrado para a integral numérica de f(x) = ln(x) será:
Atenção: h = (b - a)/n
A
1,8253.
B
1,2512.
C
0,6523.
D
0,9095.

Answer 1

Resposta: alternativa d) 0.9095.

Através do método 1/3 de Simpson, considere:

$\displaystyle\int^{b}_{a}p(x)dx=\dfrac{h}{3}\big[p(x_0)+p(x_n)+4[p(x_1)+...+p(x_{n-1})]+2[p(x_2)+...+p(x_{n-2})]\big]$

Sendo h = (b – a)/n que é a constante, onde n = 4 subintervalos (qtde par, sendo então possível aplicar esse método). Calculando seu valor, encontra-se:

$h=\dfrac{b-a}{n}$

$h=\dfrac{3-2}{4}$

$h=\dfrac{1}{4}=0.25$

Agora determinaremos os valores de x para a função f(x) = ln(x) com a constante. Sendo o intervalo de 2 a 3, com 4 subintervalos, obtém-se:

• x₀ = 2
• x₁ = 2 + 0.25 = 2.25
• x₂ = 2.25 + 0.25 = 2.5
• x₃ = 2.5 + 0.25 = 2.75
• x₄ = 2.75 + 0.25 = 3

Portanto, recorrendo à formula supracitada:

$\displaystyle\int^{b}_{a}f(x)dx~\Rightarrow~\displaystyle\int^{3}_{2}ln(x)dx$

$=~~\dfrac{h}{3}\big[f(x_0)+f(x_4)+4[f(x_1)+p(x_3)]+2p(x_2)\big]$

$=~~\dfrac{0.25}{3}\big[f(2)+f(3)+4[f(2.25)+f(2.75)]+2f(2.5)\big]$

$=~~\dfrac{0.25}{3}\big[ln(2)+ln(3)+4[ln(2.25)+ln(2.75)]+2ln(2.5)\big]$

$=~~\dfrac{0.25}{3}\big[0.6931+1.0986+4[0.8109+1.0116]+2(0.9162)\big]$

$=~~\dfrac{0.25}{3}\big[1.7917+4(1.8225)+1.8324\big]$

$=~~\dfrac{0.25}{3}\big(3.6241+7.29\big)$

$=~~\dfrac{0.25}{3}\big(10.9141\big)$

$=~~\dfrac{2.7285}{3}$

$=~~0.9095$

Após resolver a expressão, considerando apenas quatro casas decimais ao calcular os logaritmos (usei a calculadora para agilizar), chegamos no valor 0.9095 para a integral numérica de f.

Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.