Question

7. Uma indústria comercializa um certo produto e tem uma função custo total, dada por C(x) = x² + 20x + 700, sendo x o número de unidades produzidas. A função receita total é dada por R(x) = 200x. Determine: a) O lucro para a venda de 100 unidades. a) Em que valor de x acontecerá o lucro máximo?

Answer 1

A) Lucro de 100 unidade é 7300

B) para obter o lucro máximo X tem que ser 90

A indústria tem duas funções.

uma para calcular o CUSTO TOTAL , é a outra pra calcular o a RECEITA TOTAL ( o preço que vai ser vendido)

subtraindo as duas equações RECEITA TOTAL por  CUSTO TOTAL podemos obter o valor do LUCRO

Equação do Custo total

$C(X)= X^{2} +20X+700$

Equação da receita total

$R(X)=200X$

equação do LUCRO TOTAL

$L(X)= 200X-(X^{2} +20X+700)$

vamos a questão:

A) Lucro por 100 unidades vendidas

basta substituir na formula

$L(X)= 200X-(X^{2} +20X+700)\\\\L(X)= 200\cdot100-(100^{2} +20\cdot100+700)\\\\L(X)= 20.000-(10.000 +2.000+700)\\\\L(X)= 20.000-(12.700)\\\\L(X)= 7300$

o lucro com 100 unidade foi de 7300R$

B) Lucro máximo

para calcular o lucro máximo primeiro temos que transforma essa equação

$L(X)= 200X-(X^{2} +20X+700)$

em uma do segundo grau

$200X-(X^{2} +20X+700)\\\\200X-X^{2} -20X-700\\\\\boxed{-X^{2} +180X-700}$

agora que transformamos a equação numa do segundo grau, calculamos seu vértice X da parábola

dada pela formula

$XV=-\frac{B}{2A}$

$X_V=-\dfrac{180}{2\cdot(-1)} \Rightarrow \dfrac {-180}{-2} = 90$

Para obtermos o lucro máximo  X tem que ser 90