Question

um grupo de 12 estudantes passou um dia de verão em um parque aquático. Seus gastos com alimentação são dados a seguir (valores em reais):

24 — 16 — 30 — 20 — 28 — 30 — 20 — 40 — 18 — 16 — 30 — 16

A partir dos valores dados, obtenha:


a) a variância;

b) o desvio padrão;

c) a amplitude.​

Answer 1

Vamos começar observando que possuímos as informações de todos indivíduos do grupo, isto é, temos os dados da população, não de apenas uma amostra dela.

A amplitude (a) é calculada pela diferença entre o maior ($\sf x_{maior}$) e o menor ($\sf x_{menor}$) valor encontrado no conjunto.

$\boxed{\sf a~=~x_{maior}~-~x_{menor}}$

A variância ($\sf \sigma^2$)e o desvio padrão ($\sf \sigma$) de uma população podem ser determinadas como é mostrado abaixo.

$\underbrace{\boxed{\sf \sigma^2~=~\dfrac{1}{n}\cdot \displaystyle \sum\limits^{n}_{i=1}~(x_i-\overline{x})^2}}_{\sf Variancia}~~~~~~~~~\underbrace{\boxed{\sf \sigma~=~~\sqrt{\sigma^2}~=~\sqrt{\dfrac{1}{n}\cdot \displaystyle \sum\limits^{n}_{i=1}~(x_i-\overline{x})^2}}}_{\sf Desvio~Padrao}$

Observação: "n" indica a quantidade de valores na amostra e $\sf \overline{x}$, a média da amostra.

a)

Vamos começar calculando a média da população:

$\sf \overline{x}~=~\dfrac{24+16+30+20+28+30+20+40+18+16+30+16}{12}\\\\\\\overline{x}~=~\dfrac{288}{12}\\\\\\\boxed{\sf \overline{x}~=~24~reais}$

Podemos passar agora ao cálculo do somatório dos quadrados dos desvios:

$\sf\displaystyle\sum\limits^{12}_{i=1}(x_i-\overline{x})~=~(24-24)^2+(16-24)^2+(30-24)^2+(20-24)^2+\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+(28-24)^2+(30-24)^2+(20-24)^2+(40-24)^2+\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+(18-24)^2+(16-24)^2+(30-24)^2+(16-24)^2+\\\\\\\displaystyle\sum\limits^{12}_{i=1}(x_i-\overline{x})~=~(0)^2+(-8)^2+(6)^2+(-4)^2+(4)^2+(6)^2+\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+(-4)^2+(16)^2+(-6)^2+(-8)^2+(6)^2+(-8)^2$

$\sf \displaystyle\sum\limits^{12}_{i=1}(x_i-\overline{x})~=~0+64+36+16+16+36+16+256+36+64+36+64\\\\\\\boxed{\sf \displaystyle\sum\limits^{12}_{i=1}(x_i-\overline{x})~=~640}$

Por fim, podemos calcular a variância:

$\sf \sigma^2~=~\dfrac{640}{12}\\\\\\\boxed{\sf \sigma^2~=~\dfrac{160}{3}}$

b)

Como mostrado anteriormente, o desvio padrão pode ser calculado pela raiz quadrada da variância, portanto:

$\sf \sigma~=~\sqrt{\dfrac{160}{3}}\\\\\\\sigma~=~\dfrac{\sqrt{160}}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\\\\\\sigma~=~\dfrac{\sqrt{16\cdot 10}\cdot \sqrt{3}}{3}\\\\\\\boxed{\sf \sigma~=~\dfrac{4\sqrt{30}}{3}}$

c)

Observando os valores, tiramos que o maior gasto foi 40 e o menor, 16, logo a amplitude desta população fica;

$\sf a~=~40-16\\\\\boxed{\sf a~=~24~reais}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$