Question

Assinale a alternativa que contenha o resultado de integral duplo com D subscrito s e n x espaço cos y espaço d x d y onde é o retângulo 0 menor ou igual a x menor ou igual a pi sobre 2 vírgula espaço 0 menor ou igual a y menor ou igual a pi sobre 2. Aplique o Teorema de Fubini.

Answer 1

Resposta: o resultado é igual a 1 (um).

Estabelecemos a integral dupla de senx cosy cujo retângulo é 0 ≤ x ≤ π/2, 0 ≤ y ≤ π/2:

$\text{ \displaystyle\int\displaystyle\int_Dsenx\,cosy\,dA=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}senx\,cosy\,dxdy }$

Pelo teorema de Fubini, podemos integrar primeiro em relação a x OU em relação a y. Só lembrando que pelo teorema fundamental do cálculo tem-se:

$\displaystyle\int^{b}_{a}p(x)dx=P(x)\Big|^{b}_{a}=P(b)-P(a)$

Prosseguindo, integrando em relação a x:

$=~~\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}senx\,cosy\,dxdy$

⇒ considerando cosy uma constante.

$=~~\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}cosy\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}senx\,dxdy$

⇒ a integral do seno é o – cosseno.

$=~~\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}cosy\cdot\bigg(\!-cosx\,\Big|^{\frac{\pi}{2}}_{0}\bigg)dy$

$=~~\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}cosy\cdot\bigg(\!-cos\frac{\pi}{2}-(-\,cos0)\bigg)dy$

⇒ cosπ/2 = 0 e cos0 = 1.

$=~~\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}cosy\cdot\big(\!-0+1\big)dy$

$=~~\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}cosy\cdot1\,dy$

$=~~\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}cosy\,dy$

Agora integre em relação a y:

⇒ a integral do cosseno é o seno.

$=~~seny\Big|^{\frac{\pi}{2}}_{0}$

$=~~sen\dfrac{\pi}{2}-sen0$

⇒ senπ/2 = 1 e sen0 = 0.

$=~~1-0$

$=~~1$

PORTANTO:

$\boxed{\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}senx\,cosy\,dxdy=1}$

Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.