Question

Considere verdadeiras as premissas abaixo: (1) Se x ∈ C, então q(x) é verdadeira. (2) Se p(x) é verdadeira, então q(x) é verdadeira (3) Se x ∈ C, então x ∈ A. (4) Se x ∈ B, então p(x) é verdadeira. (5) Se x ∈ A, então x ∈ B ou x ∈ C. Denote as proposições das sentenças anteriores da seguinte forma: p: p(x) é verdadeira q: q(x) é verdadeira a: x ∈ A b: x ∈ B c: x ∈ C (a) Escreva as cinco premissas dadas ((1) a (5)) utilizando as letras atribuídas acima a cada sentença (a, b, c, p e q)e os símbolos da lógica (⇒, ⇔, ∧ ou "e", ∨ ou "ou") (b) Se q(x) é falsa, baseado nas premissas dadas, é verdadeiro ou falso que x ∈ A? Justifique a resposta com base nas premissas dadas. Você pode utilizar a notação definida para cada proposição para encurtar sua solução. (c) Se p(x) é verdadeira, baseado nas premissas dadas, pode-se afirmar que x ∈ B ? Justifique a resposta com base nas premissas dadas. Você pode utilizar a notação definida para cada proposição para encurtar sua solução.

Answer 1

Resposta:

(1) Se x ∈C, então q(x) é verdadeira                          c ⟹ q

(2) Se p(x) é verdadeira, então q(x) é verdadeira     p ⟹ q  

(3) Se x ∈C, então x ∈A.                                             c ⟹ a

(4)  Se x ∈B, então p(x) é verdadeira                        b ⟹ p

(5) Se x ∈A, então x ∈B ou x ∈C                               a ⟹ (b ∨ c)

(b) Se q(x) é falsa, baseado nas premissas dadas, é verdadeiro ou falso que x ∈ A? Justifique a resposta com base nas premissas dadas. Você pode utilizar a notação definida para cada proposição para encurtar sua solução.

(c ⟹q) ⟺ (¬q⟹¬c) e (c ⟹a)⟹((¬c/⟹a)∨(¬c ⟹a)) e então ¬q⟹(a∨¬a)

Ao mesmo tempo (a⟹(b ∨c))⟺((¬b∧¬c)⟹¬a)⟹(¬c ⟹a∨¬a)

Nos dois casos temos ¬q⟹(a∨¬a). Não podemos concluir sobre a.

(c) Se p(x) é verdadeira, baseado nas premissas dadas, pode-se afirmar que x ∈ B ? Justifique a resposta com base nas premissas dadas. Você pode utilizar a notação definida para cada proposição para encurtar sua solução.

(b ⟹p) ⟺ (¬p⟹¬b) ⟹ (p /⟹b) ⟺ (p verdadeira /⟹x ∈B)

Explicação:

Answer 2

Resposta:

a) Seguem as 5 (cinco) premissas, como requisitado, utilizando as letras atribuídas a cada sentença e os símbolos da lógica:

1) Se x ∈C, então q(x) é verdadeira   c ⟹ q

2) Se p(x) é verdadeira, então q(x) é verdadeira.     p ⟹ q  

3) Se x ∈C, então x ∈A.   c ⟹ a

4)  Se x ∈B, então p(x) é verdadeira.   b ⟹ p

5) Se x ∈A, então x ∈B ou x ∈C.      a ⟹ (b ∨ c)

(b)  (c ⟹q) ⟺ (¬q⟹¬c) e (c ⟹a)⟹((¬c/⟹a)∨(¬c ⟹a)) e então ¬q⟹(a∨¬a)

Ao mesmo tempo (a⟹(b ∨c))⟺((¬b∧¬c)⟹¬a)⟹(¬c ⟹a∨¬a)

Nos dois casos temos ¬q⟹(a∨¬a). Não podemos concluir sobre a.

(c) (b ⟹p) ⟺ (¬p⟹¬b) ⟹ (p /⟹b) [ esse traço é no meio da seta, e indica negação -> a não implica b, ou se a então não necessariamente b] ⟺ (p verdadeira /⟹x ∈B)

Bons estudos!