Question

(ESA 2006) A soma dos inversos das raízes da equação do 2º grau x² - 2(α + 1)x + (α + 3) = 0 é igual a 4. Se nesta equação α é constante, podemos afirmar que α² é igual a:


a) 16

b) 1

c) 25

d) 9

e) 4

Gabarito: C

Answer 1

✅ Após ter realizado todos os cálculos concluímos que o quadrado do valor de "a" é:

            $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf a^{2} = 25\:\:\:}} \end{gathered} }$

Portanto, a resposta correta é:

            $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Letra\:C\:\:\:}} \end{gathered} }$

Uma equação é do segundo grau quando o grau máximo verificado dentre seus termos for "2".

Sabendo que a soma dos inversos das raízes é "4", ou seja:

1ª              $\large\displaystyle\begin{gathered}\frac{1}{x'} + \frac{1}{x''} = 4 \end{gathered}$

Tirando o MMC dos denominadores e realizando as operações com os numeradores, temos:

2ª              $\large\displaystyle\begin{gathered}\frac{x'' + x'}{x'\cdot x''} = 4 \end{gathered}$

Se:

      $\Large\begin{cases}x' + x'' = x'' + x' = -\frac{b}{a} \\x'\cdot x'' = \frac{c}{a} \end{cases}$

Então, substituindo os valores da soma e do produto das raízes na 2ª equação, temos:

                    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\frac{-\frac{b}{a} }{\frac{c}{a}} = 4 \end{gathered} }$

                 $\large\displaystyle\begin{gathered}-\frac{b}{\!\diagup\!\!\!\!\!a}\cdot\frac{\!\diagup\!\!\!\!\!a}{c} = 4 \end{gathered}$

3ª                    $\large\displaystyle\begin{gathered}-\frac{b}{c} = 4 \end{gathered}$

Sendo a equação dada:

           $\large\displaystyle\begin{gathered}x^{2} - 2(a + 1)x + (a + 3) = 0 \end{gathered}$

Cujos coeficientes são:

                  $\large\begin{cases}a = 1\\b = 2(a + 1)\\c = a + 3 \end{cases}$

Substituindo "b" e "c" na 3ª equação, temos:

        $\large\displaystyle\begin{gathered}-\Big[\frac{-2(a + 1)}{a + 3}\Big] = 4 \end{gathered}$

                   $\large\displaystyle\begin{gathered} \frac{2(a + 1)}{a + 3} = 4 \end{gathered}$

                    $\large\displaystyle\begin{gathered}2(a + 1) = 4(a + 3) \end{gathered}$

                       $\large\displaystyle\begin{gathered}2a + 2 = 4a + 12 \end{gathered}$

                     $\large\displaystyle\begin{gathered}2a - 4a = 12 - 2 \end{gathered}$

                            $\large\displaystyle\begin{gathered}-2a = 10 \end{gathered}$

                                  $\large\displaystyle\begin{gathered}a = -\frac{10}{2} \end{gathered}$

                                   $\large\displaystyle\begin{gathered}a = -5 \end{gathered}$

Se estamos procurando o quadrado do valor de "a", então:

                          $\large\displaystyle\begin{gathered}a^{2} = (-5)^{2}\end{gathered}$

                               $\large\displaystyle\begin{gathered}= (-5)\cdot(-5) \end{gathered}$

                               $\large\displaystyle\begin{gathered}= 25 \end{gathered}$

✅ Portanto, o quadrado de "a" é:

                           $\large\displaystyle\begin{gathered}a^{2} = 25 \end{gathered}$

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