Question

Matheus fez aniversário e seus amigos irão dar a ele um presente que custa R$ 300,00. Esse valor seria igualmente dividido entre esses amigos, porém, quando foram comprar esse presente, um dos amigos desistiu de participar. Com isso, cada um dos demais amigos teve de dar mais R$ 15,00 para comprar esse presente. Quantos amigos contribuíram para a compra desse presente de aniversário de Matheus? 59. 20. 19. 9. 4.

Answer 1

➯ 4 amigos contribuíram para a compra do presente.

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Primeiro devemos considerar que:

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$\large\blue{x}~=~total~de~pessoas$

$\large\blue{x~-~1}~=~total~de~pessoas~-1~que~desistiu$

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O valor que cada pessoa pagaria antes de um desistir era a divisão dos $R\ ~300,00$ pelo total de pessoas:

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$\large\dfrac{300}{x}$

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Como uma pessoa desistiu, cada um pagará $R\ ~15,00$ a mais:

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$\large\dfrac{300}{x}~+~15$

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E esse valor é igual ao que cada um vai pagar após uma pessoa ter desistido:

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$\large\dfrac{300}{x~-~1}$

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• Juntando tudo isso, temos que: o valor que cada pessoa iria pagar antes de um desistir mais R$ 15,00 é igual ao valor que cada um vai pagar após uma pessoa ter desistido:

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$\large\dfrac{300}{x}~+~15~=~\dfrac{300}{x~- 1}$

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• Agora vamos isolar o x:

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$\large\dfrac{300}{x}~+~\dfrac{15x}{x}~=~\dfrac{300}{x~- 1}$   → A 2ª fração foi multiplicada por x para que o primeiro membro da equação fique com os denominadores iguais e então possamos fazer a soma de frações.

$\large\dfrac{300~+~15x}{x}~=~\dfrac{300}{x~- 1}$

$\large300~.~x~=~(300~+~15x)~.~(x~-~1)$

$\large300x~=~300x~-~300~+~15x^{2}~-~15x$

$\large-~15x^{2}~+~300x~-~300x~-~15x~+~300~=~0$

$\large-~15x^{2}~+~15x~+~300~=~0$

$\large-~15x^{2}~+~15x~+~300~=~0~~~(\div15)$

$\large-~x^{2}~+~x~-~20=~0$  → Tudo foi simplificado por 15.

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• Resolvendo a equação do segundo grau:

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$\largea~=~-1$

$\largeb~=~+1$

$\largec~=~-20$

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$\large\Delta~=~b^{2}~-~4~.~a~.~c$

$\large\Delta~=~(-1)^{2}~-~4~.~1~.~(-20)$

$\large\Delta~=~1~+~80$

$\large\Delta~=~81$

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$\large\text{ x~=~\dfrac{-b~\pm~\sqrt{\Delta}}{2~.~a} }$

$\large\text{ x~=~\dfrac{-1~\pm~\sqrt{81}}{2~.~(-1)} }$

$\largex~=~\dfrac{-1~\pm~9}{-2}$

$\largex'~=~\dfrac{-1~+~9}{-2}~=~\dfrac{8}{-2}~=~-4$

$\largex''~=~\dfrac{-1~-~9}{-2}~=~\dfrac{-10}{-2}~=~5$

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O número negativo não nos interessa, então o total de pessoas antes de um desistir era de 5 pessoas $(x~=~5)$. Mas uma pessoa desistiu de comprar o presente:

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$\largex~-~1~=$

$\large\text{ 5~-~1~=~\boxed{\boxed{\bf{\blue{4}}}} }$

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➯ Portanto, 4 amigos contribuíram para a compra do presente.

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