Question

(Pucmg) O valor de certo tipo de automóvel decresce com o
passar do tempo de acordo com a função

V(T) = A.2 -²T/3


sendo t o tempo medido em anos, V o valor do carro no instante t
e A o preço inicial do veículo. O tempo necessário para que esse
automóvel passe a custar
1
8
de seu valor inicial, em anos, é:

Answer 1

V(0)=A 20=A
V(t)=V(0)/8
A 2^(2t/3)=A/8
2^(-2t/3)= 1/8= 1/2^3=2-^2
-2t/3=-3
2t=9
t=2/9
t= 4,5 anos

Answer 2

O tempo necessário é 4,5 anos.

Esta questão está relacionada com função exponencial. Na função exponencial, utilizamos uma taxa de crescimento ou decrescimento, com um expoente referente ao tempo elevado a esse valor. A função exponencial possui a seguinte fórmula geral:

$f(t)=ab^{kt}$

Onde "a" representa o valor inicial, "b" é a taxa de crescimento ou decrescimento, "t" é o número de períodos e "k" é uma constante conforme o tempo.

Nesse caso, vamos calcular quanto tempo é necessário para que o automóvel possua um oitavo do valor inicial:

$\frac{A}{8}=A\times 2^{-\frac{2T}{3}} \\ \\ \frac{1}{8}=2^{-\frac{2T}{3}} \\ \\ 2^{-3}=2^{-\frac{2T}{3}} \\ \\ \frac{2T}{3}=3 \\ \\ 2T=9 \\ \\ T=4,5 \ anos$