Question

Uma fábrica de automóveis tem quatro opções de cores para uma determinada linha de fabricação. Para atender uma demanda ela precisa pintar 10 carros que irão se diferenciar apenas nas cores. De quantas maneiras podem ser feitas as escolhas para cor dos carros

Answer 1

Resposta:

Há 286 maneiras distintas para a escolha das cores dos 10 carros.

Explicação passo a passo:

De acordo com o enunciado vemos que a quantidade de cores disponíveis (4) é menor que a quantidade a ser utilizada (10). Dessa forma temos uma combinação com repetição, isto é, uma técnica de contagem conhecida como combinações completas que podem ser calculadas utilizando uma permutação com repetição equivalente.

Suponha que as cores são branca (B), preta (P), azul (A) e vermelha (V). Queremos determinar as soluções inteiras não negativas da seguinte equação:

B+P+A+V = 10

Representando a quantidade de carros de cada cor por pontos (.) e a divisória entre cada cor por barras (|) obtemos algumas soluções:

. . . | . . | . . | . . .  - 3 brancos, 2 pretos, 2 azuis e 3 vermelhos

. . . . | | . | . . . . . - 4 brancos, 0 pretos, 1 azul e 5 vermelhos

. . | . . . . . . | . | . - 2 brancos, 6 pretos, 1 azul e 1 vermelho

Podemos observar que a única diferença das representações são as posições entre as 3 barras e os 10 pontos, ou seja, uma permutação de 13 elementos com repetição de 10 e 3.

$P_{13}^{10,3}=\dfrac{13!}{10!\cdot 3!}\\\\= \dfrac{13\cdot12\cdot 11}{3\cdot 2\cdot1}=286$