Question

Seja f : (1, +∞) → (1, +∞) definida por f(x) = x sobre x − 1 . Mostre que f ´e bijetiva e determine a inversa de f, denotada por f −1

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Injectividade

f(x) = f(y) → x = y

f(y) = y / (y - 1) → y ≠ 1 para y € ( 1 ; + ∞)

f(x) = f(y)

x / (x - 1) = y / (y - 1)

x(y - 1) = y (x - 1)

xy - x = xy - y

- x = - y

x = y

f(x) é injectiva

sobrejectividade

f(x) = y → x = y / (y - 1)

f( y / (y - 1) = x / (x - 1)

f(y / (y - 1) = y / (y - 1) / [(y/(y - 1) - 1]

f(x) = y / (y - 1) / [1/(y - 1]

f(x) = y/(y - 1) × (y - 1)/1

f(x) = y

f(x) é sobrejectiva

logo f(x) é bijectiva

inversabilidade

f(x) = x/( x - 1)

y = x

x = y / ( y - 1)

x (y - 1) = y

xy - x = y

xy - y = x

y ( x - 1) = x

y = x / ( x - 1)

f^-1(x) = x / (x - 1)