Question

sabendo que x e y são, respectivamente, as soluções das equações 16^1-3x=(1/4)^2x-6 e 9×3^y-1-3^y=18, então x^y é igual a:

Answer 1

Resposta: x^y = 1.

A ideia para encontrar a solução de equações exponenciais é tentar ao máximo deixa a base igual em ambos os membro a fim de igualar os expoentes, pois $\sf a^b=a^c$ se, e só se, $\sf b=c$. O começo da resolução nem sempre é igual em todos os casos; como você verá na equação (ii), no início precisa engendrar mais o raciocínio e só depois volta na história de igualar os expoentes.

Resolvendo a equação (i):

$\sf16^{1-3x}=\bigg(\dfrac{1}{4}\bigg)^{\!2x-6}$

$\sf\big(4^2\big)^{1-3x}=\big(4^{-1}\big)^{2x-6}$

$\sf4^{2-6x}=4^{-2x+6}$

$\sf2-6x=-2x+6$

$\sf6x-2x=2-6$

$\sf4x=-\,4$

$\sf x=-\dfrac{4}{4}$

$\sf x=-\,1$

Sem mistérios para resolver essa, só precisa reescrever as potências numa base 4 e multiplicar os expoentes (por conta da propriedade (bⁿ)ˣ = bⁿˣ) para depois igualá-los.

Resolvendo a equação (ii):

$\sf9\cdot3^{y-1}-3^y=18$

$\sf3^2\cdot3^{y-1}-3^y=18$

$\sf3^{2+y-1}-3^y=18$

$\sf3^{y+1}-3^y=18$

$\sf3^y\cdot3^1-3^y=18$

$\sf3^y\cdot(3-1)=18$

$\sf3^y\cdot2=18$

$\sf3^y=\dfrac{18}{2}$

$\sf3^y=9$

$\sf3^y=3^2$

$\sf y=2$

Juntando as primeiras duas potências numa só com ajuda da propriedade da potenciação ''bⁿ · bˣ = bⁿ ⁺ ˣ'' (o processo inverso é igualmente válido, como você pode ver logo em seguida) foi possível colocar o fator comum ''3 elevado a y'' em evidência, por essa mesma propriedade. E finalmente, após Isolá-lo foi possível igualar as bases e os expoentes.

PORTANTO, se x = – 1 e y = 2, tem-se que:

$\sf x^y=(-\,1)^2=1$

Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.