Question

O volume de um cilindro reto é 10 √5 cm³. Se a altura desse cilindro é 2√5 cm, quanto vale sua área total?​

Answer 1

Área total = 10 + 20√π

Explicação passo-a-passo:

O volume de um cilindro é dado por:

Volume = base x altura

*A base é a área da circunferência(πr²).

Pelo volume vamos achar o raio da circunferência:

$10 \sqrt{5} = \pi {r}^{2} \times 2 \sqrt{5} \\ \pi {r}^{2} = \frac{10 \sqrt{5} }{2 \sqrt{5} } = 5 \\ \pi {r}^{2} = 5 \\ {r}^{2} = \frac{5}{\pi} \\ r = \sqrt{ \frac{5}{\pi} }$

Vamos racionalizar esse raio da circunferência:

$r = \sqrt{ \frac{5}{\pi} } \times \sqrt{ \frac{\pi}{\pi} } = \sqrt{ \frac{5\pi}{ {\pi}^{2} } } = \frac{ \sqrt{5\pi} }{\pi}$

Agora a área total é dada pela soma de duas

circunferências iguais e um retângulo de base 2πr que é o comprimento de uma circunferência.

Logo a área total será:

Área t = (2 × área circunferência) + (base × altura)

$Área \: t = 2(πr²) + (2πr)h \\ Área \: t = 2r\pi(r + h) \\ Área \: t = 2 \times \frac{ \sqrt{5\pi} }{\pi} \times \pi \times ( \frac{ \sqrt{5\pi} }{\pi} + 2 \sqrt{5} ) \\ Área \: t = 2 \sqrt{5\pi} \times ( \frac{ \sqrt{5\pi} + 2\pi \sqrt{5} }{\pi} ) \\ Área \: t = \frac{2 \sqrt{ {5}^{2} {\pi}^{2} } + 4 \pi \sqrt{ {5}^{2} \pi} }{\pi} \\ Área \: t = \frac{2 \times 5 \times \pi + 4\pi \times 5 \sqrt{\pi} }{\pi} \\ Área \: t = \frac{10\pi + 20\pi \sqrt{\pi} }{\pi} \\ Área \: t = \frac{\pi(10 + 20 \sqrt{\pi)} }{\pi} = 10 + 20 \sqrt{\pi}$