Question

Quais os coeficientes da função f(x) = - 3x² + 12. Determine as coordenadas do vértice e as raízes da função. A função tem ponto mínimo ou máximo???

Answer 1

A função tem um ponto máximo é as coordenadas  do vértice são (0,-12)

é a raízes  da função são -2 é 2

• mas como chegamos a essa conclusão?

Temos a seguinte função

$f(x)=-3x^{2} +12$

Podemos percebe de cara que é uma FUNÇÃO QUADRATICA

• Mas, como percebemos  se uma função é quadrática ?

uma função vai ser quadrática  quando o X estiver sendo elevado a 2 ou seja quando X tiver 2 no expoente a função será quadrática

uma característica da função quadrática é que no gráfico ela vai ficar com forma de uma PARABOLA

e essa parabola pode ter a seguinte característica, ela pode ter um PONTO MÁXIMO  ou PONTO MINIMO dependendo se a função é crescente ou decrescente

• Mas, como eu sei se uma função é crescente ou decresceste é o que isso significa?  

a função crescente como o próprio nome ja diz ela tende a crescer, consequentemente ela terá um ponto  mínimo é depois desse ponto ela só cresce

e a função decrescente ela tende  a diminuir, Consequentemente  ela terá um ponto máximo, ao atingir esse ponto a função só tende a decrescer

Para identificarmos se a função é crescente ou decrescente basta  olhar se o número que multiplica o $X^{2}$  é positivo ou negativo

NO CASO DA QUESTÃO

$f(x)=-3x^{2} +12$

ela será uma função decrescente pois o Número que multiplica o X é negativo no caso o -3

Isso significa que a função terá um ponto máximo

• agora como identificamos as coordenadas  do vértice? é o que são os coordenadas  do vértice?

as coordenadas do vértice são são as coordenadas dos pontos maximo ou  mínimo dependendo da  função

no caso da questão os ponto mínimo

• Como calculamos isso ?

basta utilizarmos a formula

$X_V= -\dfrac{B}{2A}$

$Y_V= -\dfrac{\Delta}{4A}$

$X_V= -\dfrac{B}{2A}\\\\\\X_V= -\dfrac{0}{2\cdot3}\Rightarrow \dfrac{0}{-6} = 0$

$Y_V= -\dfrac{\Delta}{4A}\\\\\\Y_V= \dfrac{-0-4\cdot-3\cdot12}{4\cdot -3}\Rightarrow \dfrac{144}{-12} \Rightarrow -(-12)=12$

temos que as coordenadas do vértice é (0,12)  

lembre-se que em coordenadas X sempre será o primeiro

Para calcular as raízes da função  aplicamos que o F(x) é igual a 0

$f(x)=-3x^{2} +12\\\\\\0=-3x^{2} +12$

temos assim uma equação quadrática que resolvermos pela formula de Bhaskara

$X=\dfrac{-B\pm \sqrt{B^{2}-4\cdot A \cdot C } }{2A} \\\\\\X=\dfrac{-0\pm \sqrt{0-4\cdot -3 \cdot 12 } }{2\cdot-3}\\\\\\X=\dfrac{0\pm \sqrt{144 } }{-6}\\\\X=\dfrac{\pm 12}{6} \\\\\\\boxed{X_1=2}\\\\\\\boxed{X_2=-2}$