Question

Dois irmãos gêmeos idênticos, Gabriel e Luciano, com 20 anos de idade, são convidados a participar de uma experiência. Gabriel permanecerá no planeta Terra enquanto Luciano será enviado a uma missão pela galáxia que consistirá em viajar até outro sistema estelar bastante distante do nosso. Luciano viajará a uma velocidade de 0,6.c, o tempo transcorrido na Terra do irmão gêmeo que ficou foi de 20 anos. Qual o tempo transcorrido do irmão gêmeo na nave ?

a) 12 anos.
b) 16 anos.
c) 20 anos.
d) 45 anos.
e) 25 anos.

Answer 1

O tempo transcorrido do irmão gêmeo na nave é de 16 anos. Logo, a alternativa correta é opção b) 16 anos.

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Cálculo

A dilatação temporal, ou dilatação do tempo, é uma ideia decorrente da Teoria da Relatividade de Albert Einstein. Também chamada de Fator de Lorentz, ela postula, de forma simples, que, em velocidades próximas a da luz, a dimensão de tempo possui diferenças em relação ao seu comportamento em condições normais.

Em termos matemáticos, o tempo sentido em relação ao referencial de movimento é proporcional ao tempo sentido dentro do referencial de movimento em razão da raiz da subtração entre 1 e a velocidade do referencial de movimento em razão da velocidade da luz, tal como a equação I abaixo:

$\quad \LARGE {\boxed{\boxed{\begin{array}{lcr} \\\ {\sf \Delta t = \dfrac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}} ~\\\ \end{array}}}} \Large ~ ~ ~ \textsf{(equac{\!\!,}{\~a}o I)}$

$\large \textsf{Onde:}$

$\large \sf \Delta t \Rightarrow tempo ~ sentido ~ em ~ condic{\!\!,}\tilde{o}es ~ normais~ (em ~ s)$

$\large \sf \Delta t_0 \Rightarrow tempo ~ sentido ~ em ~ velocidades ~ pr\acute{o}ximas ~a ~da ~luz ~ (em ~ s)$

$\large \sf v \Rightarrow velocidade ~ do ~ referencial ~ de ~ movimento ~ (em ~ m/s)$

$\large \sf c \Rightarrow velocidade ~ da ~ luz ~ (em ~ m/s)$

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Aplicação

O enunciado diz que:

$\Large \sf \displaystyle \rightarrow \begin{cases} \sf \Delta t = 20 ~ anos \\\sf \Delta t_0 = \textsf{? anos} \\\sf v = \textsf{0,6 c} \\\sf c = \textsf{1 c} \\\end{cases}$

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Assim, temos que:

$\Large \text{ \sf 20 = \dfrac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \dfrac{\textsf{0,6}^2}{1^2}}} }$

$\Large \text{ \sf 20 = \dfrac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \textsf{0,36}}} }$

$\Large \text{ \sf 20 = \dfrac{\Delta t_0}{\sqrt{\textsf{0,64}}} }$

$\Large \text{ \sf 20 = \dfrac{\Delta t_0}{\textsf{0,8}} }$

$\Large \sf \Delta t_0 = 20 \cdot \textsf{0,8}$

$\boxed {\boxed {\Large \sf \Delta t_0 = \textsf{16 anos}}}$

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