Question

Um modelo para dispersão de um rumor é dado pela equação p(t) = 1/1+2e^-3,5t, em que p(t) é a proporção da população que já ouviu o boato no tempo t.

a) Quando a metade da população terá ouvido um rumor?
b) Quando ocorre a maior taxa de dispersão do boato?

Observação: Digite o número encontrado com três casas após a vírgula usando arredondamento.

Answer 1

Respostas:  

a) No tempo 0,198, metade da população já terá ouvido o rumor.

b) A maior taxa de dispersão do boato, dá-se em t=0,198.

Dados:

$p(t)=\dfrac{1}{1+2e^{-3,5t}}$

Como  $t$  representa uma variável temporal, temos  $t\in\mathbb{R}_0^+$

Podes ver em anexo algumas regras de derivação que vamos usar nesta resolução.

Resolução:

a)

    $\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{1+2e^{-3,5t}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow2=1+2e^{-3,5t}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow2-1=2e^{-3,5t}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow1=2e^{-3,5t}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}=e^{-3,5t}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow e^{-3,5t}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow-3,5t=\ln\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow t=\dfrac{\ln\dfrac{1}{2}}{-3,5}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow t=\dfrac{\ln\left(2^{-1}\right)}{-3,5}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow t=\dfrac{-\ln2}{-3,5}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow t=\dfrac{\ln2}{3,5}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow t\approx0,198$

Assim, no tempo 0,198, metade da população já terá ouvido o rumor.

b) Para descobrir quando ocorre a maior taxa de dispersão do boato, podemos calcular o máximo da primeira derivada desta função, uma vez que a derivada nos dá a velocidade ou a taxa de variação de função inicial.

Chamemos  $p\,'$  à primeira derivada da função  $p$ :

    $p\,'(t)=\left(\dfrac{1}{1+2e^{-3,5t}}\right)'\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow p\,'(t)=\dfrac{1'\times\left(1+2e^{-3,5t}\right)-1\times\left(1+2e^{-3,5t}\right)'}{\left(1+2e^{-3,5t}\right)^2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow p\,'(t)=\dfrac{0\times\left(1+2e^{-3,5t}\right)-\left(1+2e^{-3,5t}\right)'}{\left(1+2e^{-3,5t}\right)^2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow p\,'(t)=\dfrac{-\left(1+2e^{-3,5t}\right)'}{\left(1+2e^{-3,5t}\right)^2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow p\,'(t)=-\dfrac{1'+\left(2e^{-3,5t}\right)'}{\left(1+2e^{-3,5t}\right)^2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow p\,'(t)=-\dfrac{0+\left(2\times(-3,5t)'\times e^{-3,5t}\right)}{\left(1+2e^{-3,5t}\right)^2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow p\,'(t)=-\dfrac{-7e^{-3,5t}}{\left(1+2e^{-3,5t}\right)^2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow p\,'(t)=\dfrac{7e^{-3,5t}}{\left(1+2e^{-3,5t}\right)^2}$

Para determinar o máximo da primeira derivada, podemos avaliar os zeros da segunda derivada. Podes ver a dedução da expressão da 2ª derivada em anexo, uma vez que não coube nesta resposta.

    $p\,''(t)=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{-24,5\,e^{-3,5t}+49e^{-7t}}{\left(1+2e^{-3,5t}\right)^4}=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow-24,5\,e^{-3,5t}+49e^{-7t}=0\;\;\wedge\;\;\left(1+2e^{-3,5t}\right)^4\neq0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow49e^{-7t}=24,5\,e^{-3,5t}\;\;\wedge\;\;1+2e^{-3,5t}\neq0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow e^{-7t}=\dfrac{24,5\,e^{-3,5t}}{49}\;\;\wedge\;\;2e^{-3,5t}\neq-1\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow e^{-7t}=\dfrac{e^{-3,5t}}{2}\;\;\wedge\;\;Condic\!\!\c\,\,\tilde{a}o\;Universal\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \ln\left(\dfrac{e^{-3,5t}}{2}\right)=-7t\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\ln e^{-3,5t}-\ln2=-7t\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow-3,5t-\ln2=-7t\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow3,5t=\ln2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow t=\dfrac{\ln2}{3,5}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow t\approx0,198$

t     |0         |0,198|        +∞|

p''  |     +     |    0   |      -     |

p'   |    $\nearrow$    | máx |     $\searrow$     |

Logo, o máximo da primeira derivada, isto é, a maior taxa de dispersão do boato, dá-se em t=0,198.

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