Question

ALGUÉM PODE ME AJUDAR NESSE SISTEMA?

X²+Y²=17

XY=4

Answer 1

Temos que:

 

$\begin{cases} \text{x}^2+\text{y}^2=17 \\ \text{xy}=4 \end{cases}$

 

Da segunda equação, obtemos:

 

$\text{x}=\dfrac{4}{\text{y}}$

 

Substituindo na primeira equação, temos:

 

$\left(\dfrac{4}{\text{y}}\right)^2+\text{y}^2=17$

 

$\dfrac{16}{\text{y}^2}+\text{y}^2=17$

 

Donde, obtemos:

 

$16+\text{y}^4=17\text{y}^2$

 

$\text{y}^4-17\text{y}^2+16=0$

 

Chegamos à uma equação biquadrada.

 

Seja $\text{y}^2=\text{x}$

 

$(\text{y}^2)^2-17\text{y}^2+16=0$

 

$\text{x}^2-17\text{x}+16=0$ 

 

$\text{x}=\dfrac{-(-17)\pm\sqrt{(-17)^2-4\cdot1\cdot16}}{2\cdot1}=\dfrac{17\pm15}{2}$

 

$\text{x}'=\dfrac{17+15}{2}=16$

 

$\text{x}"=\dfrac{17-15}{2}=1$

 

Como $\text{y}^2=\text{x}$, temos que:

 

$\text{y}^2=16$

 

$\text{y}=\pm4$

 

Analogamente, obtemos:

 

$\text{y}^2=1$

 

$\text{y}=\pm1$

 

Para $\text{y}=\pm4$, temos que:

 

$\text{x}=\dfrac{4}{4}=1$

 

Ou

 

$\text{x}=\dfrac{4}{-4}=-1$

 

Para $\text{y}=\pm1$, temos que:

 

$\text{x}=\dfrac{4}{1}=4$

 

Ou

 

$\text{x}=\dfrac{4}{-1}=-4$

 

Logo, os pares ordenados $(\text{x}, \text{y})$ que satisfazem o sistema em questão são:

 

$(\text{x}, \text{y})=(1, 4), (-1, -4), (4, 1), (-4, -1)$