Question

Resoluão pela regra de cramer
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Answer 1

Resposta: S = {(200/7 , 190/7 , 10/7)}

$\begin{cases}x=y+z\\y=2x-30\\z=3y-80\end{cases}\Leftrightarrow~\begin{cases}x-y-z=0\\2x-y+0z=30\\0x-3y+z=-\,80\end{cases}$

Pela regra de Cramer, considere o seguinte para determinar os valores das variáveis:

$x=\dfrac{det_x}{det},~y=\dfrac{det_y}{det},~z=\dfrac{det_z}{det}$

(det: determinante formado pelos coeficientes do sistema, sendo que os outros três terão suas colunas alteradas pelos termos independentes).

Calcule det primeiro:

$det=\left|\begin{array}{ccc}1&-1&-1\\2&-1&0\\0&-3&1\end{array}\right|~\begin{matrix}1&-1\\2&-1\\0&-3\end{matrix}$

$det=1(-1)(1)-1(0)(0)-1(2)(-3)-[-1(-1)(0)+1(0)(-3)-1(2)(1)]$

$det=-1-0+6-(0+0-2)$

$det=5+2$

$det=7$

Agora calcule detx (comute a primeira coluna pelos termos independentes):

$det_x=\left|\begin{array}{ccc}0&-1&-1\\30&-1&0\\-80&-3&1\end{array}\right|~\begin{matrix}0&-1\\30&-1\\-80&-3\end{matrix}$

$det_x=0(-1)(1)-1(0)(-80)-1(30)(-3)-[-1(-1)(-80)+0(0)(-3)-1(30)(1)]$

$det_x=0-0+90-(-80+0-30)$

$det_x=90+110$

$det_x=200$

Calcule dety (comute a segunda coluna pelos termos independentes):

$det_y=\left|\begin{array}{ccc}1&0&-1\\2&30&0\\0&-80&1\end{array}\right|~\begin{matrix}1&0\\2&30\\0&-80\end{matrix}$

$det_y=1(30)(1)+0(0)(0)-1(2)(-80)-[-1(30)(0)+1(0)(-80)+0(2)(1)]$

$det_y=30+0+160-[-0+0+0]$

$det_y=190$

E por fim, calcule detz (comute a terceira coluna pelos termos independentes):

$det_z=\left|\begin{array}{ccc}1&-1&0\\2&-1&30\\0&-3&-80\end{array}\right|~\begin{matrix}1&-1\\2&-1\\0&-3\end{matrix}$

$det_z=1(-1)(-80)-1(30)(0)+0(2)(-3)-[0(-1)(0)+1(30)(-3)-1(2)(-80)]$

$det_z=80-0+0-(0-90+160)$

$det_z=80-70$

$det_z=10$

Assim, volte às equações que definem os valores de cada variável e substitua os dados obtidos:

$x=\dfrac{det_x}{det},~y=\dfrac{det_y}{det},~z=\dfrac{det_z}{det}$

$x=\dfrac{200}{7},~y=\dfrac{190}{7},~z=\dfrac{10}{7}$

PORTANTO, o conjunto solução é:

$S=\bigg\{\bigg(\dfrac{200}{7}~,~\dfrac{190}{7}~,~\dfrac{10}{7}\bigg)\bigg\}$

Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.