Question

1) A sequência seguinte é uma progressão geométrica, observe: (2, 6, 18, 54...). Determine o 8o termo dessa progressão.

2) Sabendo que uma PG tem a1 = 4 e razão q = 2, determine a soma dos 10 primeiros termos dessa progressão.

3) O oitavo termo de uma PG é 256 e o quarto termo dessa mesma PG é 16. Calcule seu primeiro termo.

4) Um carro, cujo preço à vista é R$ 24 000,00, pode ser adquirido dando-se uma entrada e o restante em 5 parcelas que se encontram em progressão geométrica. Um cliente que optou por esse plano, ao pagar a entrada, foi informado que a segunda parcela seria de R$ 4 000,00 e a quarta parcela de R$ 1 000,00. Quanto esse cliente pagou de entrada na aquisição desse carro?

5) Numa progressão geométrica, tem-se a3 = 40 e a6 = -320. A soma dos oito primeiros termos é:

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Bom dia, tudo bem? ^^

Como ficou uma atividade grande, não poderei explicar passo a passo, como tenho costume, caso contrário só irei terminar no meio da manhã rsrs E ainda preciso entrar no trabalho antes disso.

Vamos lá rsrs

1 ____________________

Nós temos até o 4 termo da P.G.

A razão (q) é encontrada quando dividimos um termo pelo seu antecessor. Independente se dividiremos o segundo termo pelo primeiro, o terceiro pelo segundo ou quarto pelo terceiro. O valor será sempre o mesmo.

Por isso:

$\sf q = \dfrac{a_2}{a_1} \rightarrow \dfrac{6}{2} = \boxed{\sf 3}$

A fórmula geral para calcular uma P.G é dada por:

$\Large\boxed{\sf a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}}$

Substituindo:

$\sf a_{n} = a_1 \cdot q^{ n - 1}$

$\sf a_{8} = 2 \cdot 3^{8 - 1}$

$\sf a_{8} = 2 \cdot 3^{7}$

$\sf a_{8} = 2 \cdot 2187$

$\sf a_{8} = 2 \cdot 2187$

$\red{\boxed{\sf a_{8} = 4374}}$

2 ____________________

A fórmula que relaciona a soma dos finitos termos de uma P.G é dada por:

$\Large\boxed{\sf S_n = \dfrac{a_1(q^{n} - 1)}{q - 1}}$

Substituindo:

$\sf S_{10} = \dfrac{4( 2^{10} - 1)}{2 - 1}$

$\sf S_{10} = \dfrac{4( 1024 - 1)}{1}$

$\sf S_{10} = 4( 1023)$

$\red{\boxed{\sf S_{10} = 4092}}$

3 ____________________

Usando a mesma fórmula da primeira questão.

$\sf a_{n} = a_1 \cdot q^{ n - 1}$

$\sf a_{4} = a_1 \cdot q^{ 4 - 1}$

$\sf a_{4} = a_1 \cdot q^{3}$

(Substituindo o valor do quarto termo que a questão deu)

$\sf 16 = a_1 \cdot q^{3}$

$\sf a_1 \cdot q^{3} = 16$

$\boxed{\sf a_1 = \dfrac{16}{q^3}}$

Vamos deixar de "molho" esse primeiro termo e vamos fazer o mesmo procedimento para o oitavo termo que já temos o valor.

$\sf a_8 = a_1 \cdot q^{8 - 1}$

$\sf a_8 = a_1 \cdot q^{7}$

$\sf 256 = a_1 \cdot q^{7}$

(Substituindo o valor que achamos do primeiro termo que deixamos de molho)

$\sf 256 = \dfrac{16}{q^3} \cdot q^{7}$

$\sf 256 = \dfrac{(16) \cdot q^7}{q^3}$

$\sf 256 = \dfrac{(16) \cdot \red{\cancel{\orange{q^7}}}}{\red{\cancel{\orange{q^3}}}}$

$\sf 256 = \dfrac{(16) \cdot \orange{q^4}}{\orange{1}}$

$\sf 256 = 16 \cdot \orange{q^4}$

$\sf q^4 \cdot 16 = 256$

$\sf q^4 = \dfrac{256}{16}$

$\sf q^4 = 16$

$\sf q = \sqrt[4]{16}$

$\boxed{\sf q = 2}$

Agora que já sabemos a razão, é só substituir em qualquer uma das fórmulas. Vamos pegar a que deixei de molho rsrs

$\sf a_1 = \dfrac{16}{q^3}$

$\sf a_1 = \dfrac{16}{2^3}$

$\sf a_1 = \dfrac{16}{8}$

$\red{\boxed{\sf a_1 = 2}}$

4 ____________________

Deixarei sem terminar porque estou sem tempo agora. Mas ainda hoje dou continuidade :)