Question

Insira no campo de entrada do GeoGebra a equação ((x-xo)²)/b²+((y-yo)²)/a²=1 . Observe que o “xo” , “yo”, “a” e o “b” serão números representados por controles deslizantes. Altere as configurações de “a” e “b” para o intervalo de 1 a 100. Lembre-se a>b. a) Considere xo = 0, yo = 0, b = 9 e a = 10. Encontre o centro, os vértices, os focos e a excentricidade da elipse. De forma manual. b) Usando a ferramenta “ponto” do software construa um ponto (Ponto A) sobre a elipse. Em seguida, construa segmentos com origem nos focos da Elipse e extremidade no ponto A. Logo após, encontre a soma dos segmentos. Feito isso anime o ponto construído. O que pode ser concluído acerca da soma das distâncias entre os focos e o ponto pertencente a elipse. Justifique sua resposta. ​

Answer 1

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⠀⠀⠀☞ a) Centro = (0, 0), vértices A = (0, ±10), vértices B = (0, ±9), focos = (0, ±√19) e excentricidade = √19/10; b) Podemos concluir que esta distância é sempre a mesma e equivalente ao eixo maior. ✅  

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⠀⠀⠀⭐⠀Para realizar este exercício vamos analisar a equação da elipse.⠀⭐⠀

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• ⠀Tomados dois pontos quaisquer (chamados focos) teremos que uma elipse é o conjunto de pontos os quais o valor para a soma da distância de cada ponto até cada um dos focos é a mesma (✏ experimente fixar dois pregos numa tábua, amarrar um barbante entre eles (maior que a distância entre eles) e forçando uma caneta para fora do barbante traçar uma curva).

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⠀⠀⠀➡️⠀A forma geral da equação de uma elipse com eixo maior paralelo ao eixo y (o que define isto é sob qual variável o semi-eixo maior a está) é:

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                             $\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}\green{\star}&&\green{\star}\\&\!\!\orange{\sf \dfrac{(x - x_0)^2}{b^2} + \dfrac{(y - y_0)^2}{a^2} = 1}\!\!&\\\green{\star}&&\green{\star}\\\end{array}}}}}$  

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$\text{\Large\orange{ \diamond~~\bf a }~\pink{ \Longrightarrow }~}$ Semi-distância dos vértices A₁ e A₂ do eixo maior (também chamado de semi-eixo maior);

$\text{\Large\orange{ \diamond~~\bf b }~\pink{ \Longrightarrow }~}$ Semi-distância dos vértices B₁ e B₂ do eixo menor (também chamado de semi-eixo menor);

$\text{\Large\orange{ \diamond~~\bf (x_0,y_0) }~\pink{ \Longrightarrow }~}$ Coordenadas do centro O da elipse;

$\text{\Large\orange{ \diamond~~\bf (x,y) }~\pink{ \Longrightarrow }~}$ Coordenadas dos pontos da elipse.

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                 $\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\vector(1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,1){5}}\put(0,0){\vector(-1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,-1){5}}\put(4.8,0.2){x}\put(0.2,4.8){y}\bezier{0}(0,-4)(2.7,-3.7)(3,0)\bezier{0}(3,0)(2.7,3.7)(0,4)\bezier{0}(0,4)(-2.7,3.7)(-3,0)\bezier{0}(0,-4)(-2.7,-3.7)(-3,0)\put(0,-3){\circle*{0.13}}\put(0,3){\circle*{0.13}}\put(0,-4){\circle*{0.13}}\put(0,4){\circle*{0.13}}\put(3,0){\circle*{0.13}}\put(-3,0){\circle*{0.13}}\put(0,0){\circle*{0.13}}\put(0.5,0.5){\LARGE \sf O }\put(-0.8,-4.6){\LARGE \sf A_1 }\put(-0.8,4.2){\LARGE \sf A_2 }\put(-3.8,0.3){\LARGE \sf B_1 }\put(3.6,0.3){\LARGE \sf B_2 }\put(0.6,-3.2){\LARGE \sf F_1 }\put(0.6,2.8){\LARGE \sf F_2 }\put(0,-0.15){\LARGE \underbrace{\qquad\qquad~~~} }\put(1.3,-1.1){\LARGE \sf b }\put(-0.6,1.35){\LARGE \begin{cases}\\\\\\\end{cases} }\put(-1,1.3){\LARGE \sf c }\put(-0.6,-2.15){\LARGE \begin{cases}\\\\\\\\\end{cases} }\put(-1,-2.3){\LARGE \sf a }\bezier{30}(0,3)(1.5,1.5)(3,0)\put(1.9,1.5){\LARGE \sf a }\put(-4,-7.5){\dashbox{0.1}(8,1.5){\LARGE \sf \overline{A_1A_2} = 2 \cdot a = \overline{F_1P} + \overline{F_2P} }}\put(-3.5,-9.5){\dashbox{0.1}(4,1.5){\LARGE \sf a^2 = b^2 + c^2 }}\put(1.5,-9.5){\dashbox{0.1}(2,1.5){\LARGE \sf e = \dfrac{c}{a} }}\end{picture}$

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                            $\Large\red{\boxed{\begin{array}{rcl}&\green{\underline{\footnotesize\sf Esta~imagem~n\tilde{a}o~\acute{e}~visualiz\acute{a}vel~pelo~App~Brainly.}}&\\&\green{\footnotesize\sf \bullet~Experimente~compartilhar\rightarrow copiar~e~acessar}&\\&\green{\footnotesize\sf o~link~copiado~pelo~seu~navegador~ou~Browser.}&\\\end{array}}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Temos, do enunciado, que o centro desta elipse está no ponto (x₀, y₀) = (0,0). ✅  

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⠀⠀⠀➡️⠀Os vértices A₁ e A₂ são (x₀, y₀ ± a), ou seja, (0, 10) e (0, -10). Já os vértices B₁ e B₂ são (x₀ ± b, y₀), ou seja, (9, 0) e (-9, 0). ✅

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⠀⠀⠀➡️⠀A semi-distância focal c pode ser encontrada pelo teorema de Pitágoras:

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$\LARGE\blue{\sf 10^2 = 9^2 + c^2}$

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$\LARGE\blue{\sf c^2 = 100 - 81}$

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$\LARGE\blue{\sf \sqrt{c^2} = \pm \sqrt{19}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Como c é um comprimento então tomaremos somente a solução positiva desta radiciação, ou seja, c = √19. Desta forma temos que os focos estão em (x₀, y₀ ± c), ou seja, em (0, √19) e (0, -√19). Já a excentricidade desta elipse É de c/a = √19/10. ✅

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⠀⠀⠀➡️⠀Conhecendo os valores de a, b e c então temos que o semi-eixo maior = a = 10, o eixo maior = 2 · a = 20, o semi-eixo menor = 9, o eixo-maior = 2 · b = 18, a semi-distância focal = c = √19 e, por fim, a distância focal = 2 · c = 2 · √19. ✅

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⠀⠀⠀➡️⠀Analisando a construção do Geogebra pudemos observar que a soma destas distâncias é constante e de mesmo valor que o eixo maior. ✅  

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⠀⠀☀️ L͎̙͖͉̥̳͖̭̟͊̀̏͒͑̓͊͗̋̈́ͅeia mais sobre elipses:

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