Question

Dadas a equações -x3y2+4xy=-4x+2y . y’ (x) encontre a derivadas de forma implícita pedidas

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo diferencial.

Seja a equação $-x^3y^2+4xy=-4x+2y$. Devemos calcular $\dfrac{dy}{dx}$.

Primeiro, subtraia $-4x+2y$ em ambos os lados da igualdade

$-x^3y^2+4xy+4x-2y=0$

Diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$

$\dfrac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}x}(-x^3y^2+4xy+4x-2y)=\dfrac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}x}(0)$

Aplique a linearidade: $\dfrac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}x}(\alpha\cdot f(x)+\beta\cdot g(x))=\alpha\cdot \dfrac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}x}(f(x))+\beta\cdot \dfrac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}x}(g(x))$

$-\dfrac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}x}(x^3y^2)+4\,\dfrac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}x}(xy)+4\,\dfrac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}x}(x)-2\,\dfrac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}x}(y)=\dfrac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}x}(0)$

Para calcular estas derivadas, lembre-se que:

• A derivada de uma função $y=y(x)$ é dita implícita e é calculada de acordo com a regra da cadeia: $\dfrac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}x}(y(x))=\dfrac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}y}(y(x))\cdot \dfrac{{\rm{d}}y}{{\rm{d}}x}$.
• A derivada do produto de duas funções contínuas é calculada pela regra do produto: $\dfrac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}x}(f(x)\cdot g(x))=\dfrac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}x}(f(x))\cdot g(x)+f(x)\cdot \dfrac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}x}(g(x))$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $\dfrac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}x}(x^n)=n\cdot x^{n-1}$.
• Analogamente, a derivada de uma constante é igual a zero.

Aplique a regra do produto e da potência

$-\dfrac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}x}(x^3)\cdot y^2-x^3\cdot\dfrac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}x}(y^2)\right)+4\,\dfrac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}x}(x)\cdot y+4\,x\cdot\dfrac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}x}(y)\right)+4\,\dfrac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}x}(x)-2\,\dfrac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}x}(y)=0$

Aplique a regra da cadeia e da potência

$-3x^2\cdot y^2-x^3\cdot 2y\cdot \dfrac{{\rm{d}}y}{{\rm{d}}x}+4y+4\,x\cdot\dfrac{{\rm{d}}y}{{\rm{d}}x}+4-2\,\dfrac{{\rm{d}}y}{{\rm{d}}x}=0$

Fatore a expressão, pondo $\dfrac{{\rm{d}}y}{{\rm{d}}x}$ em evidência

$(-2x^3y+4x-2)\cdot \dfrac{{\rm{d}}y}{{\rm{d}}x} -3x^2y^2+4y+4=0$

Subtraia $-3x^2y^2+4y+4$ em ambos os lados da igualdade

$(-2x^3y+4x-2)\cdot \dfrac{{\rm{d}}y}{{\rm{d}}x} =3x^2y^2-4y-4$

Divida ambos os lados da igualdade pelo fator $-2x^3y^2+4x-2$

$\dfrac{{\rm{d}}y}{{\rm{d}}x} =\dfrac{3x^2y^2-4y-4}{-2x^3y+4x-2}$

Esta é a derivada implícita que buscávamos.