Encontre a formula fechada de serie de MacLaurin para a função f(x) = cos2 x.
alguém pode me ajudar?
Respostas
Resposta:
Explicação passo a passo:
A primeira coisa a se fazer é calcular as n-esimas derivadas da função até achar uma correspondência entre a posição do elemento com o valor do elemento em si. Veja:
F(x)= Cos(2x) => F(0) = 1
F'(x) = -2.sen(2x) => F'(0) = 0
F"(x) = -4.cos (2x) = > F"(0) = - 4
F'''(x) = 8.sen(2x) => F'''(0) = 0
F⁴(x) = 16cos(2x) => F⁴(0) = 16
....
OBS: usei o valor 0 na função porque é o caso específico da série de Taylor (McLaurin).
Consegue reparar no padrão formado?
•Todas as posições pares nas n-esimas derivadas são 0 por causa da função sen!!!
•Consegue perceber a alternância de sinais, bem como a multiplicidade por 4? (Potências de 4). Se tiver dificuldade, faça quantas derivadas for necessário, contudo o ideal é 4 derivadas para perceber um padrão.
Agora basta aplicar na fórmula da série de McLaurin:
Somatório (n=0 até +00) de fⁿ(0).xⁿ/n!
Já calculamos algumas derivadas, vamos construir a série e encontrar o formato fechado:
1 + 0 - 4x²/2! + 0 +16x⁴/4! +0 +....
Eliminamos os 0 da série:
1/0! - 4x²/2! +16x⁴/4! ...
Características importantes:
•posicões ímpares são valores positivos, posições pares, por sua vez,
negativos.
•Vamos dizer que temos uma "PG" de razão 4 no numerador, ou seja, 4ⁿ.
•No denominador temos os números pares em fatoriais.
•Temos a variável X que tem expoentes múltiplos de 2 também.
Com isso conseguimos montar a forma fechada:
Somatório de n=0 até +00 [(-1)ⁿ.4ⁿ.x²ⁿ/(2n)!]
Espero ter ajudado.