Question

Encontre a equa¸c˜ao da reta tangente `a curva y = 2x
2 + 3 no ponto (2; 11)

Answer 1

A equação da reta tangente na forma reduzida é:

$\Largey=8x-5.$

Explicação

A equação reduzida da reta tangente à curva de equação y = f(x) no ponto $(x_0,\,y_0)$ é dada por:

$\Largey=f'(x_0)\cdot(x-x_0)+y_0.$

Veja que o coeficiente angular da reta tangente é igual ao valor da derivada de f(x) avaliada no ponto de tangência.

Desse modo, seja a curva de equação $y=2x^2+3.$ Para encontrarmos a equação da reta tangente a ela no ponto (2, 11), vamos calcular, inicialmente, a derivada de y. Observe:

$\Large\begin{gathered}y'=(2x^2)'+(3)'\\\\y'=4x+0\\\\y'=4x.\end{gathered}$

Assim, o valor da derivada no ponto x = 2 é igual a:

$\Large\begin{gathered}y'(2)=4\cdot2\\\\y'(2)=8.\end{gathered}$

Logo, o coeficiente angular da reta tangente é 8. Substituindo os valores na fórmula mencionada, segue que sua equação é:

$\Large\begin{gathered}y=8(x-2)+11\\\\y=8x-16+11\\\\\boxed{\boxed{y=8x-5.}}\end{gathered}$

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Answer 2

• A equação da reta tangente na sua tarefa será igual a y = 8x - 5.

A equação da reta tangente é dada por $\large\displaystyle\begin{aligned} y=mx+n \end{aligned}$ onde x e y são os pontos (2 ; 11) e o m é a derivada. Logo, derivando o m ficará simples de encontrar o n e assim encontraremos a equação completa.

• Dada a definição de derivada:

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\boxed{ f'(x) =\lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} }\end{aligned} }$

Resolvendo o m:

$\large\displaystyle\begin{aligned} m =\lim_{h \to 0 } \frac{2\cdot (x+h)^2+3 - (2x^2+3) }{h} \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} m=\lim_{h \to 0 } \frac{2\cdot (x^2+2xh+h^2)+3 - 2x^2-3 }{h} \end{aligned}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} m =\lim_{h \to 0 } \frac{\not{2x^2}+4xh+2h^2\not{+3} \not{-2x^2}\not{-3 }}{h} \end{aligned} }$

$\large\displaystyle\begin{aligned} m=\lim_{h \to 0 } \frac{4xh+2h^2 }{h} \end{aligned}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} m=\lim_{h \to 0 } \frac{\not{h}\cdot (4x+2h) }{\not{h}} \end{aligned} }$

$\large\displaystyle\begin{aligned} m = f'(x) =4x+2\cdot 0 \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} m =4x \end{aligned}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \boxed{\boxed{m =8}} \end{aligned} }$

• Substituindo na equação da reta tangente, temos que:

$\large\displaystyle\begin{aligned} y=mx+n \Leftrightarrow 11=8\cdot 2 + n\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} y=mx+n \Leftrightarrow -n=16 -11\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} y=mx+n \Leftrightarrow -n=5 \ \cdot\ (-1)\end{aligned}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} y=mx+n \Leftrightarrow \boxed{\boxed{n=-5}}\end{aligned} }$

Portanto, a equação da reta tangente a curva y = 2x + 3 no ponto ( 2 ; 11 ) será igual a:

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\therefore \boxed{\boxed{\green{ y= 8x -5 }}}\ \checkmark \end{aligned} }$

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Derivadas.

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