Question

Resolva a integral abaixo e encontre a antiderivada:

$\bf \: \int \frac{ {x}^{2} dx}{3 \sqrt{ {x}^{2} + 4 } }$

Com cálculos por favor.​

Answer 1

• A resposta dessa integral se encontra no final da resolução.

Para resolver sua questão, irei utilizar o método da substituição trigonométrica. Mas antes irei dar uma leve arrumada na integral.

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \int \frac{x^2dx}{3\sqrt{x^2 + 4}} = \frac{1}{3} \cdot \int \frac{x^2dx}{\sqrt{x^2+4}}\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \frac{1}{3} \cdot \int \frac{x^2dx}{\sqrt{x^2+4}} = \frac{1}{3}\cdot \int \frac{x^2dx}{\sqrt{x^2+2^2}} \end{aligned} }$

Agora é só aplicar a substituição trigonometrica, que será dada na questão por $\large\displaystyle\begin{aligned}x^2dx \Rightarrow \begin{cases} x= 2tg\theta \\ du = 2 sec^2\theta \ d\theta\end{cases}\end{aligned}$. Logo:

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \frac{1}{3}\cdot \int \frac{x^2dx}{\sqrt{x^2+2^2}} = \frac{1}{3}\cdot \int \frac{4tg^2\theta\cdot \not{2}sec^{\not{2}}\theta d\theta}{\not{2}\not{sec\theta}}\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \frac{1}{3}\cdot \int \frac{4tg^2\theta \cdot 2sec^2\theta d\theta }{2sec\theta} = \frac{1}{3}\cdot \int 4tg^2\theta\cdot sec\theta d\theta\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \frac{1}{3}\cdot \int 4tg^2\theta\cdot sec\theta d\theta = \frac{1}{3}\cdot 4\cdot \int tg^2\theta\cdot sec\theta d\theta \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \frac{1}{3}\cdot4\cdot \int tg^2\theta\cdot sec\theta d\theta = \frac{4}{3}\cdot \int tg^2\theta\cdot sec\theta d\theta \end{aligned}$

Faça agora uma pequena substituição na tangente, ficando assim ( tg²(theta) = sec²(theta) - 1 ).

$\large\displaystyle\begin{aligned}\frac{4}{3}\cdot \int tg^2\theta\cdot sec\theta d\theta = \frac{4}{3} \cdot \int \left[ sec^2\theta - 1\right] \cdot sec\theta d\theta \end{aligned}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \frac{4}{3} \cdot \int \left[ sec^2\theta - 1\right] \cdot sec\theta d\theta = \frac{4}{3} \cdot \underbrace{\int \left[sen^3\theta -sec\theta\right]d\theta}_{integrei\ diret\tilde{a}o} \end{aligned} }$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \frac{4}{3} \cdot \int \left[ sec^2\theta - 1\right] \cdot sec\theta d\theta = \frac{4}{3} \cdot \left[ \frac{1}{2} sec\theta \cdot tg\theta +\frac{1}{2}ln| sec\theta + tg\theta | - ... \right]\end{aligned}$

• ... seria ln| sec(theta) + tg(theta), [ não coube no tex ]. Continuando. ...

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\int \frac{x^2dx}{3\sqrt{x^2 + 4}} = \frac{4}{3} \cdot \left[ \frac{1}{2}sec\theta \cdot tg\theta - \frac{1}{2}ln|sec\theta + tg\theta \right] + k\end{aligned} }$

• Mas essa ainda não é a resposta, pois devemos passar de (theta) para x. Para isso, utilize:

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} tg^2\theta = sec^2 \theta - 1 \Rightarrow \begin{cases} tg\theta = \frac{x}{2}\\\\ sec^2\theta = \left( \frac{x}{2}\right)^2 + 1\\\\ sec\theta = \frac{\sqrt{x^2+4}}{2}\end{cases}\end{aligned} }$

Por fim, substitua na integral e corra pro abraço - ( mentira menino, zoia a pandemia kk ).

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\int \frac{x^2dx}{3\sqrt{x^2 + 4}} = \frac{4}{3} \cdot \left[ \frac{1}{2}sec\theta \cdot tg\theta - \frac{1}{2}ln|sec\theta + tg\theta \right] + k\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\therefore\boxed{\boxed{\green{\int \frac{x^2dx}{3\sqrt{x^2 + 4}} = \frac{4}{3} \cdot \left[ \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{2} \cdot \frac{x}{2} - \frac{1}{2}ln\left|\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{2}+ \frac{x}{2} \right|\right] + k}}}\end{aligned} }$

• Obs: Claro que poderia simplificar mais e tals, mas por conta do limite de caracteres vou deixar assim mesmo.

Veja mais sobre:

Integrais por substituição trigonometrica.

$\blue{\square}$ brainly.com.br/tarefa/12390714

Answer 2

O Resultado dessa integral é $\large\boxed{\boxed{\sf \int =\frac{1}{6}\left(-4\ln \left(\frac{\left|x+\sqrt{x^2+4}\right|}{2}\right)+x\sqrt{x^2+4}\right)+C}}$

Resolução

Para encontrarmos a antiderivada dessa integral indefinida nós precisamos substituir a expressão da integral por meio do método da substituição trigonométrica.

Vamos lá

• Vou tentar simplificar o Máximo para termos uma melhor percepção da resolução.

$\sf \displaystyle \sf \int \frac{x^2\:dx}{3\sqrt{x^2+4}}$

• Para começar primeiramente nós temos que remover a constante dessa integral.

$\sf \displaystyle \sf =\frac{1}{3}\cdot \int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+4}}dx$

• Agora nós temos que aplicar a fórmula de substituição falada no começo dessa Resolução, $\sf x=2tan(u)$

$\displaystyle \sf \frac{1}{3}\cdot \int \:4tan ^2\left(u\right)sec \left(u\right)du$

• Novamente nós temos que remover a constante da integral.

$\displaystyle \sf \frac{1}{3}\cdot \:4\cdot \int tan ^2\left(u\right)sec \left(u\right)du$

• Agora nós temos que reescrever a integral usando a identidades trigonométricas

$\displaystyle \sf \frac{1}{3}\cdot \:4\cdot \int \left(-1+sec ^2\left(u\right)\right)sec \left(u\right)du$

• Agora nós devemos expandir mais a integral.

$\displaystyle \sf \frac{1}{3}\cdot \:4\cdot \int \:-sec \left(u\right)+sec ^3\left(u\right)du$

• Agora nó temos que aplicar a seguinte regra de soma: $\displaystyle \sf \int f\left(x\right)\pm g\left(x\right)dx=\int f\left(x\right)dx\pm \int g\left(x\right)dx$

$\displaystyle \sf \frac{1}{3}\cdot \:4\left(-\int sec \left(u\right)du+\int sec ^3\left(u\right)du\right)$

• Agora nós temos que resolver : $\displaystyle \sf \int sec \left(u\right)du = \boxed{\sf ln \left|tan \left(u\right)+sec \left(u\right)\right|}$, $\displaystyle \sf \int sec ^3\left(u\right)du=\boxed{\sf \frac{1}{2}sec \left(u\right)tan \left(u\right)+\frac{1}{2}ln \left|tan \left(u\right)+sec \left(u\right)\right|}$

• Juntamos os dois resultados:

$\displaystyle \sf \frac{1}{3}\cdot \:4\left(-ln \left|tan \left(u\right)+sec \left(u\right)\right|+\frac{1}{2}sec \left(u\right)tan \left(u\right)+\frac{1}{2}\ln \left|tan \left(u\right)+sec \left(u\right)\right|\right)$

• Agora nós temos que substituir $\sf u=arctan \left(\dfrac{1}{2}x\right)$ na integral.

$\displaystyle \sf \frac{1}{3}\cdot \:4\left(-ln \left|tan \left(arctan \left(\frac{1}{2}x\right)\right)+sec \left(arctan \left(\frac{1}{2}x\right)\right)\right|+\frac{1}{2}sec \left(arctan \left(\frac{1}{2}x\right)\right)\right.\\ \displaystyle \sf tan \left(arctan \left(\frac{1}{2}x\right)\right)+\frac{1}{2}ln \left|tan \left(arctan \left(\frac{1}{2}x\right)\right)+sec \left(arctan \left(\frac{1}{2}x\right)\right)\right|$

• Simplificando

$\displaystyle \sf \int=\frac{1}{6}\left(-4\ln \left(\frac{\left|x+\sqrt{x^2+4}\right|}{2}\right)+x\sqrt{x^2+4}\right)$

• Agora basta adicionar uma constante (C)

$\large\boxed{\boxed{\sf \int =\frac{1}{6}\left(-4\ln \left(\frac{\left|x+\sqrt{x^2+4}\right|}{2}\right)+x\sqrt{x^2+4}\right)+C}}$

Veja mais

• https://brainly.com.br/tarefa/16295646

$\Huge{\underbrace{\sf The ~Weeknd~XO}}$