Question

Determine um vetor ortornomal ao vetores A=(2,6,-1) e B=(0,-2,1)

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre álgebra linear.

Dados dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$, em um sistema de coordenadas, o vetor que é simultaneamente ortogonal aos dois vetores é calculado pelo produto vetorial:

$\vec{u}\times\vec{v}=\begin{vmatrix}i&j&k\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\\\end{vmatrix}$

Um vetor ortonormal aos dois vetores é um vetor ortogonal a estes cuja norma (ou comprimento) é igual a $1$, isto é, pode ser calculado pela fórmula $\dfrac{\vec{u}\times\vec{v}}{||\vec{u}\times\vec{v}||}$.

A norma de um vetor em um sistema de coordenadas é calculado pela fórmula: $||\vec{u}||=\sqrt{{u_1}^2+{u_2}^2+{u_3}^2}$.

Então, substituindo as coordenadas dos vetores $A=(2,~6,\,-1)$ e $B=(0,\,-2,~1)$ no determinante, calculamos o produto vetorial $A\cross B$

$A\cross B =\begin{vmatrix}i&j&k\\2&6&-1\\0&-2&1\\\end{vmatrix}$

Para calcular o determinante de ordem $3$, utilizamos a Regra de Sarrus: consiste em replicar as duas primeiras colunas da matriz à direita do determinante e calcular a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, temos:

$A\times B =\begin{vmatrix}i&j&k\\2&6&-1\\0&-2&1\\\end{vmatrix}\begin{matrix}i&j\\2&6\\0&-2\\\end{matrix}$

Aplique a Regra de Sarrus

$A\times B =i\cdot 6\cdot 1+j\cdot(-1)\cdot 0+k\cdot 2\cdot (-2)-(j\cdot2\cdot 1 + i\cdot (-1)\cdot(-2)+k\cdot6\cdot0)\\\\\\ A\times B = 4\,i - 2\,j-4\,k$

Podemos escrever o vetor em um sistema de coordenadas, cuja base geradora são os vetores $\{i,~j,~k\}$: $\alpha\,i+\beta\,j+\gamma\,k=(\alpha,~\beta,~\gamma)$

Assim, teremos:

$A\times B = (4,\,-2,\,-4)$

Sabendo que qualquer vetor paralelo ao vetor ortogonal a dois vetores é também ortogonal a estes, assumimos o menor vetor possível: $A\times B=(2,\,-1,\,-2)$

Então, dividimos o vetor pela sua norma

$||A\times B||=\sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2}\\\\\\ ||A\times B||=\sqrt{4+1+4}\\\\\\ ||A\times B||=\sqrt{9}=3\\\\\\ \dfrac{A\times B}{||A\times B||}=\dfrac{(2,\,-1,\,-2)}{3}=\left(\dfrac{2}{3},\,-\dfrac{1}{3},\,-\dfrac{2}{3}\right)$

Este é o vetor ortonormal que buscávamos.