Question

Determine a Matriz inversa de A= [ 2 4 ]
[1 5]

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se a matriz inversa da matriz A abaixo:

A = |2...4|
......|1....5|

Veja: vamos chamar a matriz inversa de A⁻¹ e igual a:

A⁻¹ = |a...b|
.........|c...d|.

Agora multiplicaremos A por sua inversa e igualaremos à matriz Identidade, ficando assim:

|2...4|*|a...b| = |1...0|
|1...5|*|c....d| = |0...1| ----- efetuando o produto indicado, teremos:

|2*a+4*c...2*b+4*d| = |1...0|
|1*a+5*c....1*b+5*d| = |0...1| =

= |2a+4c...2b+4d| = |1...0|
...|a+5c.....b+5d..| = |0...1| ----- veja que ficamos com o sistema:

2a + 4c = 1    . (I)
2b + 4d = 0    . (II)
a + 5c = 0      . (III)
b + 5d = 1      . (IV)

Agora vamos trabalhar com as expressões (I) e (III), que são:

2a + 4c = 1    . (I)
a + 5c = 0      . (III)

Faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (III) por "-2" e, em seguida,somaremos, membro a membro, com a expressão (I). Assim:

2a + 4c = 1 --- [Esta é a expressão (I) normal]
-2a-10c = 0 --- [Esta é a expressão (III) multiplicada por "-2"]
--------------------- somando membro a membro, ficaremos:
0 - 6c = 1 --- ou apenas:
- 6c = 1 ----- ou:
6c = - 1
c = - 1/6 <--- Este é o valor do elemento "c" da matriz inversa de A.

Agora, para encontrarmos o valor do elemento "a", vamos em quaisquer uma das expressões. Vamos na expressão (III), que é esta:

a + 5c = 0 ---- substituindo "c" por "-1/6", teremos:
a + 5*(-1/6) = 0
a - 5/6 = 0
a = 5/6 <--- Este é o valor do elemento "a" da matriz inversa de A.

Agora trabalharemos com a expressões (II) e (IV), que são:

2b + 4d = 0    . (II)
b + 5d = 1    . (IV).

Agora faremos o seguinte: multiplicaremos por "-2" a expressão (IV) e, em seguida, somaremos, membro a membro, com a expressão (II). Assim:

2b + 4d = 0 --- [esta é a expressão (II) normal]
-2b-10d = -2 --- [esta é a expressão (IV) multiplicada por "-2"]
----------------- somando membro a membro, teremos:
0 - 6d = - 2 ---- ou apenas:
- 6d = - 2 --- ou:
6d = 2
d = 2/6 --- dividindo-se numerador e denominador por "2", ficaremos com:

d = 1/3 <--- Este é o valor do elemento "d" da matriz inversa de A.

Agora, para encontrar o valor do elemento "b", vamos em uma das igualdades. Vamos na igualdade (II), que é esta:

2b + 4d = 0 ---- substituindo "d" por "1/3", teremos:
2b + 4*1/3 = 0
2b + 4/3 = 0
2b = - 4/3
b = - 4/3*2
b = - 4/6 --- dividindo-se numerador e denominador por "2", ficaremos:
b = - 2/3 <--- Este é o valor do elemento "b" da matriz inversa de A.

Assim, como já temos que: a = 5/6; b = -2/3; c = -1/6; d = 1/3, então a matriz inversa de A será esta:

A⁻¹ = |5/6.....-2/3|
.........|-1/6.......1/3| <--- Esta é a matriz procurada.

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.