Question

Uma equação de reta, que contém o ponto médio do segmento de extremos (-2; -1) e (5; 4) e que é perpendicular a esse segmento, pode escrever-se:

Answer 1

 

Primeiramente vamos calcular o coeficiente angular do segmento:

Usaremos a fórmula da GA:

 

 

$<var>m_{seg}=\frac{y_{A}-y_{B}}{x_{a}-x{B}}</var>$ 

 

$<var>m_{seg}=\frac{-1-4}{-2-5}\Rightarrow m_{seg}=\frac{5}{7}</var>$ 

 

 

Agora vamos encontrar as coordenadas do ponto médio do segmento.

Usaremos a seguinte fórmula da GA:

 

 

$<var>x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}</var>$ 

e

$<var>y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}</var>$ 

 

 

 

Neste caso$<var>x_{M}=\frac{-2+5}{2}=\frac{3}{2}</var>$

e

$<var>y_{M}=\frac{-1+4}{2}=\frac{3}{2}</var>$

 

 

sabemos que a condição de perpendicularidade entre uma reta r e um segmento AB é a seguinte$<var>m_{r}=\frac{-1}{m_{seg}}</var>$:

 

 

Assim  o coeficiente angular da reta procurada é$<var>m_{r}=\frac{-1}{\frac{5}{7}}=\frac{-7}{5}</var>$:

 

 

Como a reta passa no ponto médio de AB, podemos escrever a equação fundamental:

 

 

$<var>y-y_{M}=m_{r}\cdot(x-x_{M})</var>$ 

Ou seja$<var>y-\frac{3}{2}=-\frac{-7}{5} \cdot (x-\frac{3}{2})</var>$:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

Olá, Summer.

 

O segmento de reta r que une os pontos (-2;-1) e (5;4) possui coeficiente angular:

 

$<var>m_r=\frac{4-(-1)}{5-(-2)}=\frac57</var>$

 

A reta s que queremos encontrar é perpendicular ao segmento r. A relação, portanto, entre seus coeficientes angulares é:

 

$<var>m_r\cdot m_s=-1 \Rightarrow \frac57 m_s=-1 \Rightarrow \boxed{m_s=-\frac75}</var>$

 

Já obtivemos o coeficiente angular da reta procurada. Falta, agora, o coeficiente linear.

 

O coeficiente linear é obtido substituindo-se o ponto médio dos extremos na equação procurada:

 

$<var>(-2; -1)\text{ e }(5; 4) \Rightarrow \text{Ponto m\'edio = }(\frac{-2+5}2;\frac{-1+4}2)=(\frac32;\frac32) \\\\ y=m_s \cdot x + p \Rightarrow \frac32=-\frac75 \cdot \frac32+p \Rightarrow \frac32=-\frac{21}{10}+p \Rightarrow p=\frac{15+21}{10} \Rightarrow \\\\ p=\frac{36}{10} \Rightarrow \boxed{p=\frac{18}5}</var>$

 

A equação da reta procurada é, portanto:

 

$<var>y=m_s\cdot x+p \Rightarrow \boxed{y=-\frac75x+\frac{18}5}</var>$