Question

(50 PONTOS) Considere a seguinte função:
$~$
$z=f(y)=y^{2}\,;~~~~\text{com }0\leq y\leq 1.$

Sabemos que o gráfico de $f$ é um arco de parábola.
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a) Verifique que a função

$g(y)=\left(1-\left|y-1\right| \right )^{2},\;~~~~\text{com }0\leq y\leq 2$

satisfaz as seguintes condições:

$\bullet~~g(y)=f(y),\;~~~\text{para todo }y \in [0,\;1]\,;$

$\bullet~~$ o gráfico de $g$ é simétrico em relação à reta $y=1.$

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Suponha agora que faremos uma revolução do gráfico de $f$ em torno do eixo $y=1,$ gerando assim uma superfície de revolução.

b) Mostre que uma equação para esta superfície é

$z=\left(1-\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}\, \right )^{\!\!2}\,;~~~~\text{ com }x^{2}+(y-1)^{2}\leq 1.$

Answer 1

La primera parte es sencilla puesto que solo consiste en la definición del valor absoluto y un poco de sentido común en cuanto a la simetría, es decir que los puntos a la derecha de x =1 ( las abscisas x = 1 + |d|) tienen la misma imagen que los de la izquierda (x = 1 - |d|)

g (1 + |d|) = g(1 + |d|) , con d ∈ [0, 1]

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véase el gráfico

$x^2+(y-1)^2=(1-\sqrt{z})^2\;,\; \text{com }z\in[0,1]\; \text{e }x^2+(y-1)^2\leq 1\\ \\ \sqrt{x^2+(y-1)^2}=1-\sqrt{z}\\ \\ \sqrt{z}=1-\sqrt{x^2+(y-1)^2}\\ \\ z=\left(1-\sqrt{x^2+(y-1)^2}\right)^2$