Question

Por favor me ajudem, preciso saber o mais rápido possível a resposta dessa questão: Para que valores de X pertencente aos reais a função F(x) = |x² + x - 1| é menor do que 1?

Answer 1

Resolver a inequação modular:

$|x^{2}+x-1|<1\\ \\ \\ -\!1<x^{2}+x-1<1$


Resolver a dupla desigualdade acima equivale a resolver o seguinte sistema:

$\left\{ \begin{array}{lc} -1<x^{2}+x-1&~~\mathbf{(i)}\\ \\ x^{2}+x-1<1&~~\mathbf{(ii)} \end{array} \right.$


$\bullet\;\;$ Resolvendo a inequação $\mathbf{(i)}:$

$-1<x^{2}+x-1\\ \\ x^{2}+x-1+1>0\\ \\ x^{2}+x>0\\ \\ x\cdot (x+1)> 0$


As raízes do lado esquerdo são:

$x_{1}=-1~~\text{ e }~~x_{2}=0.$


Como queremos $x\cdot (x+1)> 0,$ devemos ter

$x<x_{1}~~\text{ ou }~~x>x_{2}\\ \\ \boxed{\begin{array}{c} x<-1~~\text{ ou }~~x>0 \end{array}}$


Logo, a solução da inequação $\mathbf{(i)}$ é

$S_{1}=\{x\in \mathbb{R}\left|\;x<-1~\text{ ou }~x>0\right\}$


ou usando a notação de intervalos,

$S_{1}=(-\infty,\;-1)\cup (0,\;+\infty).$


$\bullet\;\;$ Resolvendo a inequação $\mathbf{(ii)}:$

$x^{2}+x-1<1\\ \\ x^{2}+x-1-1<0\\ \\ x^{2}+x-2<0\\ \\ x^{2}+2x-x-2<0\\ \\ x\cdot (x+2)-1\cdot (x+2)<0\\ \\ (x+2)\cdot (x-1)<0$


As raízes do lado esquerdo são:

$x_{3}=-2~~\text{ e }~~x_{4}=1.$


Como queremos $(x+2)\cdot (x-1)<0,$ devemos ter

$x_{3}<x<x_{4}\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}-2<x<1 \end{array}}$


O conjunto solução da inequação $\mathbf{(ii)}$ é

$S_{2}=\{x \in \mathbb{R}\left|\;-2<x<1\right.\}$


ou usando a notação de intervalos,

$S_{2}=(-2,\;1).$

_______________________________________

O conjunto solução da inequação dada inicialmente é a interseção entre as soluções de $\mathbf{(i)}$ e $\mathbf{(ii)}:$

$S=S_{1}\cap S_{2}\\ \\ S=\left[(-\infty,\;-1)\cup (0,\;+\infty) \right ]\cap (-2,\;1)\\ \\ S=(-2,\;-1)\cup (0,\;1)$


ou usando a notação usual,

$S=\{x \in \mathbb{R}\left|\;-2<x<-1~\text{ ou }~0<x<1 \right.\}.$