Question

Demonstre: (algébricamente)
Tg²x+1= Sec²x

Answer 1

Vamos partir da Relação Fundamental da Trigonometria:

$\cos^{2}x+\mathrm{sen^{2}\,}x=1$

Supondo $\cos x\neq 0,$ podemos dividir os dois lados da igualdade acima por $\cos^{2}x:$

$\dfrac{\cos^{2}x+\mathrm{sen^{2}\,}x}{\cos^{2}x}=\dfrac{1}{\cos^{2}x}\\ \\ \\ \dfrac{\cos^{2}x}{\cos^{2}x}+\dfrac{\mathrm{sen^{2}\,}x}{\cos^{2}x}=\dfrac{1}{\cos^{2}x}\\ \\ \\ 1+\left(\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x} \right )^{\!\!2}=\left(\dfrac{1}{\cos x} \right )^{\!\!2}\\ \\ \\ 1+(\mathrm{tg\,}x)^{2}=(\sec x)^{2}\\ \\ \\ \therefore~\boxed{\begin{array}{c}1+\mathrm{tg^{2}\,}x=\sec^{2}x \end{array}}$


Obs.: A identidade acima só faz sentido se $\cos x\neq 0.$