Question

demonstração da fórmula de Baskara

Answer 1

Vamos tomar a equação do 2º grau em $x$ na sua forma geral:

$ax^2+bx+c=0~~~~~~\text{com }a\ne 0$


Para facilitar os cálculos, vamos multiplicar os dois lados da equação por $4a:$

$4a\cdot (ax^2+bx+c)=4a\cdot 0\\\\ 4a^2x^2+4abx+4ac=0\\\\ 4a^2x^2+4abx=-4ac\\\\ (2ax)^2+2\cdot (2ax)\cdot b=-4ac~~~~~~\mathbf{(i)}$


Agora, vamos completar o quadrado no lado esquerdo de $\mathbf{(i)},\,$ usando produtos notáveis:

$p^2+2pq+q^2=(p+q)^2\\\\ p^2+2pq=(p+q)^2-q^2~~~~~~\mathbf{(ii)}$


Na relação $\mathbf{(ii)}$ acima, se fizemos

$p=2ax~~\text{ e }~~q=b$

obtemos justamente o lado esquerdo de $\mathbf{(i)}:$

$(2ax)^2+2\cdot (2ax)\cdot b=(2ax+b)^2-b^2$


Voltando à equação $\mathbf{(i)}\,,$ ficamos com

$(2ax+b)^2-b^2=-4ac\\\\ (2ax+b)^2=b^2-4ac~~~~~~\mathbf{(iii)}$


Analisemos a equação $\mathbf{(iii)}$ acima. O lado direito é o quadrado de um número real. Portanto, a equação acima só terá solução se $b^2-4ac\ge 0.$

Tirando a raiz quadrada dos dois lados em $\mathbf{(iii)}\,,$ temos

$2ax+b=\pm \sqrt{b^2-4ac}\\\\ 2ax=-b\pm \sqrt{b^2-4ac}~~~~~~(\text{e como }a\ne 0...)\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c} x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{array}}$


que é justamente o resultado dado pela fórmula de Bháskara.


Bons estudos! :-)