Question

Cálculo 3... 30 pontos!
O cálculo da integral de linha consiste em uma das importantes ferramentas fornecidas pelo cálculo...

Continuação em anexo.

Answer 1

Calcular a integral de linha

$I=\displaystyle\int_{C}{(x^{2}+y^{2}-z)}\,d\mathbf{s}$

sendo $C$ a curva parametrizada


$C:~\begin{array}{cc} \left\{ \begin{array}{l} x=\cos t\\ y=\mathrm{sen\,}t\\ z=t \end{array} \right.&~~~~\text{com }t\in \mathbb{R}. \end{array}$


$\bullet\;\;$ Calculando o vetor tangente $C'(t):$

$C(t)=(\cos t,\;\mathrm{sen\,}t,\;t)\\ \\ \\ C'(t)=(-\mathrm{sen\,}t,\;\cos t,\;1)$


Para o cálculo da integral de linha, vamos precisar apenas do módulo do vetor tangente:

$\|C'(t)\|=\|(-\mathrm{sen\,}t,\;\cos t,\;1)\|\\ \\ \|C'(t)\|=\sqrt{(-\mathrm{sen\,}t)^{2}+(\cos t)^{2}+1^{2}}\\ \\ \|C'(t)\|=\sqrt{\mathrm{sen^{2}\,}t+\cos^{2}\,t+1}\\ \\ \|C'(t)\|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\,,~~~~\forall~t\in\mathbb{R}.$

_____________________________

Encontrando os limites de integração em $t:$

$\bullet\;\;C(0)=(\cos 0,\;\mathrm{sen\,}0,\;0)\\ \\ C(0)=(1,\;0,\;0)=A\\ \\ \\ \bullet\;\;C(2\pi)=(\cos 2\pi,\;\mathrm{sen\,}2\pi,\;2\pi)\\ \\ C(2\pi)=(1,\;0,\;2\pi)=B$

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Portanto,

$I=\displaystyle\int_{C}{(x^{2}+y^{2}-z)}\,d\mathbf{s}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{2\pi}{\left[(\cos t)^{2}+(\mathrm{sen\,}t)^{2}-t \right ]\cdot \|C'(t)\|\,dt}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{2\pi}{\left[\cos^{2}t+\mathrm{sen^{2}\,}t-t \right ]\cdot \sqrt{2}\,dt}\\ \\ \\ =\sqrt{2}\int\limits_{0}^{2\pi}{(1-t)\,dt}\\ \\ \\ =\sqrt{2}\cdot \left.\left(t-\dfrac{t^{2}}{2} \right )\right|_{0}^{2\pi}$

$=\sqrt{2}\cdot \left(2\pi-\dfrac{(2\pi)^{2}}{2} \right )\\ \\ \\ =\sqrt{2}\cdot \left(2\pi-\dfrac{4\pi^{2}}{2} \right )\\ \\ \\ =\sqrt{2}\cdot \left(2\pi-2\pi^{2} \right )\\ \\ =2\pi\sqrt{2}\,\left(1-\pi \right ).$


Resposta: alternativa $\text{c. }2\pi\sqrt{2}\,\left(1-\pi \right ).$

(se o $z(t)=t...$ )