Question

30 Pontos!
A integral de linha tem uma vasta aplicação nas ciências exatas. Um dos ramos que faz uso dessa ferramenta é a Física, onde podemos citar o cálculo do trabalho...

Continuação em anexo...

Answer 1

$\overrightarrow{\mathbf{F}}(\overrightarrow{\mathbf{r}})=-mMG\cdot \dfrac{\overrightarrow{\mathbf{r}}}{\|\overrightarrow{\mathbf{r}}\|^{3}}\\ \\ \\ \overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\;y,\;z)=-mMG\cdot \dfrac{(x,\;y,\;z)}{\|(x,\;y,\;z)\|^{3}}\\ \\ \\ \overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\;y,\;z)=-mMG\cdot \dfrac{(x,\;y,\;z)}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}\\ \\ \\ \overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\;y,\;z)=-mMG\cdot \left(\dfrac{x}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}\,,\;\dfrac{y}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}\,,\;\dfrac{z}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}} \right )$


O domínio do campo $\overrightarrow{\mathbf{F}}$ é

$D=\mathbb{R}^{3}-\{(0,\;0,\;0)\}.$


Se $\overrightarrow{\mathbf{F}}$ for conservativo, então existe uma função potencial $\varphi:D\to\mathbb{R}$ tal que

$\forall~(x,\;y,\;z)\in D,~~~\boxed{\begin{array}{c} \overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\;y,\;z)=\nabla\varphi(x,\;y,\;z) \end{array}}$

(o campo vetorial $\overrightarrow{\mathbf{F}}$ é o gradiente da função potencial $\varphi$ em todos os pontos do domínio do campo )

_____________________________________

Então, devemos ter

$\overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\;y,\;z)=\left(\dfrac{\partial \varphi}{\partial x}\,,\;\dfrac{\partial \varphi}{\partial y},\;\dfrac{\partial \varphi}{\partial z} \right )$


Comparando a primeira coordenada do campo com a primeira coordenada do vetor gradiente, devemos ter

$\dfrac{\partial \varphi}{\partial x}=-mMG\cdot \dfrac{x}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}$


Integrando os dois lados em relação a $x,$ obtemos

$\varphi(x,\;y,\;z)=-mMG\cdot \displaystyle\int{\dfrac{x}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}\,dx}\\ \\ \\ \varphi(x,\;y,\;z)=-mMG\cdot \left(-\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} \right )+g(y,\;z)\\ \\ \\ \varphi(x,\;y,\;z)=mMG\cdot \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}+g(y,\;z)$

sendo $g(y,\;z)$ uma função que só depende de $y$ e de $z.$

$\vdots$

Procedendo de forma análoga para as outras duas coordenadas do vetor gradiente, encontramos a função potencial para o campo $\overrightarrow{\mathbf{F}}:$

$\boxed{\begin{array}{c}\varphi(x,\;y,\;z)=mMG\cdot \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}+K\end{array}}$

sendo $K$ uma constante arbitrária.

(Caso queira verificar, derivando $\varphi$ em relação a $x,$ $y$ e $z$ obtemos cada uma das respectivas coordenadas do campo $\overrightarrow{\mathbf{F}}$ )

____________________________

Como conseguimos encontrar uma função potencial $\varphi$ para o campo $\overrightarrow{\mathbf{F}},$ e $\varphi$ tem o mesmo domínio que $\overrightarrow{\mathbf{F}},$ concluímos que


O campo $\overrightarrow{\mathbf{F}}$ é conservativo!!
______________________________

Ora, como $\overrightarrow{\mathbf{F}}$ é conservativo, o trabalho realizado não vai depender do caminho percorrido, somente dos pontos final e inicial:


Tomemos como função potencial para $\overrightarrow{\mathbf{F}}$ aquela em que a constante $K=0:$

$\boxed{\begin{array}{c}\varphi(x,\;y,\;z)=mMG\cdot \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} \end{array}}$


O trabalho realizado por $\overrightarrow{\mathbf{F}}$ é dado pela seguinte integral de linha:

$W=\displaystyle\int_{C}{\overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{r}}}\\ \\ \\ =\varphi(2,\;2,\;0)-\varphi(3,\;4,\;12)\\ \\ =mMG\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+0^{2}}}-mMG\cdot \dfrac{1}{\sqrt{3^{2}+4^{2}+12^{2}}}\\ \\ \\ =mMG\cdot \dfrac{1}{\sqrt{4+4}}-mMG\cdot \dfrac{1}{\sqrt{9+16+144}}\\ \\ \\ =mMG\cdot \dfrac{1}{\sqrt{8}}-mMG\cdot \dfrac{1}{\sqrt{169}}\\ \\ \\ =mMG\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{2}}-mMG\cdot \dfrac{1}{13}\\ \\ \\ =mMG\,\left(\dfrac{1}{2\sqrt{2}}-\dfrac{1}{13} \right ).$


Resposta: alternativa $\text{b) }mMG\,\left(\dfrac{1}{2\sqrt{2}}-\dfrac{1}{13} \right ).$