Question

30 Pontos! Calculo 3

O Teorema fundamental do cálculo determina que, ...

Continuação em anexo...

Answer 1

Queremos calcular a integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva:

$\displaystyle\int_{C}{\overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot d\!\overrightarrow{\mathbf{r}}}$

sendo $\overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\;y)=\left(e^{-y}-2x,\;-xe^{-y}-\mathrm{sen\,}y \right )$

e $C$ uma curva qualquer que liga os pontos $(\pi,\;0)$ e $(0,\;\pi).$

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Foi dada a informação de que o campo $\overrightarrow{\mathbf{F}}$ é conservativo.

O domínio do campo $\overrightarrow{\mathbf{F}}$ é todo o $\mathbb{R}^{2}.$


Pelo fato de $\overrightarrow{\mahbf{F}}$ ser conservativo, existe uma função $f:~\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ (uma função de duas variáveis), de modo que

$\forall~(x,\;y)\in \mathbb{R}^{2}\,;~~~\overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\;y)=\nabla f(x,\;y)$

(o campo vetorial $\overrightarrow{\mathbf{F}}$ é o gradiente da função $f$ em cada ponto do $\mathbb{R}^{2}$ )


Quando isso acontece, dizemos que $f$ é uma função potencial para o campo $\overrightarrow{\mathbf{F}}.$

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Como $\overrightarrow{\mathbf{F}}$ é o gradiente de $f,$ devemos ter

$\overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\;y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\;\dfrac{\partial f}{\partial y} \right )\\ \\ \\ \left(e^{-y}-2x,\;-xe^{-y}-\mathrm{sen\,}y \right )=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\;\dfrac{\partial f}{\partial y} \right )~~~~~~\mathbf{(i)}$


Igualando a primeira coordenada dos vetores em $\mathbf{(i)},$ devemos ter

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=e^{-y}-2x\\ \\ \\ \Rightarrow~~f(x,\;y)=xe^{-y}-x^{2}+g(y)~~~~~~\mathbf{(ii)}$

sendo $g(y)$ uma função que só depende de $y.$


Em $\mathbf{(ii)},$ derivando $f$ em relação a $y$ temos

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=-xe^{-y}+g'(y)~~~~~~\mathbf{(iii)}$


Comparando a expressão acima com a segunda coordenada do vetor gradiente em $\mathbf{(i)},$ concluímos que

$g'(y)=-\mathrm{sen\,}y\\ \\ \Rightarrow~~g(y)=\cos y+K$

sendo $K$ uma constante arbitrária.


Substituindo de volta em $\mathbf{(ii)},$ a função potencial é

$\boxed{\begin{array}{c} f(x,\;y)=xe^{-y}-x^{2}+\cos y+K \end{array}}$

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Para o cálculo de integral de linha, podemos tomar qualquer função potencial definida no mesmo domínio que o campo vetorial.


Tomemos como função potencial aquela em que a constante $K=0:$

$f(x,\;y)=xe^{-y}-x^{2}+\cos y$


Então, a integral de linha do campo $\overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\;y)$ sobre qualquer curva $C$ que liga o ponto $(\pi,\;0)$ ao ponto $(0,\;\pi)$ é

$\displaystyle\int_{C}{\overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot d\!\overrightarrow{\mathbf{r}}}\\ \\ \\ =f(0,\;\pi)-f(\pi,\;0)\\ \\ =(0\cdot e^{-\pi}-0^{2}+\cos \pi)-(\pi\cdot e^{-0}-\pi^{2}+\cos 0)\\ \\ =(-1)-(\pi-\pi^{2}+1)\\ \\ =-1-\pi+\pi^{2}-1\\ \\ =\pi^{2}-\pi-2.$


(Obs.: Note que o valor da integral de linha não depende da curva $C,$ apenas dos pontos final e inicial. Isso se deve ao fato de o campo vetorial em questão ser conservativo)


Resposta: A integral de linha sobre $C$ tem valor $\pi^{2}-\pi-2.$