Question

Resolva o seguinte cálculo:
$\int \frac{1}{x {}^{2} \sqrt{x {}^{2} + 4 } } \cdot \: dx$
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Answer 1

• A resposta dessa integral se encontra no final da resolução.

Fala sasa! Primeiramente, obrigado por essa integral. Para resolver devemos aplicar o método da substituição trigonométrica. Dada a integral:

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 + 4}}dx = \int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2+2^2}}dx\end{aligned} }$

Faça a seguinte substituição:

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2+2^2}}\ dx \Rightarrow \begin{cases} x=2\tan\theta \\ x^2 = 4\tan^2\theta\\ dx = 2\sec^2\theta d\theta\end{cases}\\ \end{aligned} }$

Ficando assim:

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 + 2^2}} dx = \int \frac{2\sec ^2\theta d\theta}{4\tan^2 \theta\sqrt{4\tan ^2 \theta+4}}\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 + 2^2}} dx = \int \frac{2\sec ^2\theta d\theta}{4\tan^2 \theta\sqrt{4\cdot (\tan ^2 \theta+1)}}\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 + 2^2}} dx = \frac{1}{2}\cdot \int \frac{\sec ^2\theta d\theta}{\tan^2 \theta\sqrt{ 4\cdot (\tan ^2 \theta+1)}}\end{aligned} }$

Perceba que ao colocar o número 4 em evidência, caimos em uma idêntidade trigonométrica. Dada por $\large\displaystyle\begin{aligned} 1+\tan^2 \theta = \sec^2 \theta\end{aligned}$. Com isso, temos:

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 + 2^2}} dx = \frac{1}{2}\cdot \int \frac{\sec ^2\theta d\theta}{\tan^2 \theta\sqrt{ 4\cdot (\tan ^2 \theta+1)}}\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 + 2^2}} dx = \frac{1}{2}\cdot \int \frac{\sec ^2\theta d\theta}{\tan^2 \theta\ 2\sqrt{(\sec ^2 \theta)}}\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 + 2^2}} dx = \frac{1}{4}\cdot \int \frac{\sec^{\not{2}}\theta d\theta}{\tan^2 \theta \cdot \not{\sec \theta}}\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 + 2^2}} dx = \frac{1}{4}\cdot \int \frac{\sec\theta d\theta}{\tan^2 \theta}\end{aligned} }$

• Lembrando que a secante de theta é a mesma coisa que o 1/cos(theta) e a tangente é a mesma coisa que sen(theta)/cos(theta).

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 + 2^2}} dx = \frac{1}{4}\cdot \int \frac{\frac{1}{\cos (\theta)} }{\frac{\sin^2(\theta ) }{\cos^2(\theta)}}\ d\theta\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 + 2^2}} dx = \frac{1}{4}\cdot \int \frac{1}{\not{\cos (\theta)}}\cdot \frac{\not{\cos^2(\theta)}}{\sin^2(\theta ) }\ d\theta\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 + 2^2}} dx = \frac{1}{4}\cdot \int \frac{\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)}\ d\theta\end{aligned} }$

• Agora, perceba que temos uma integralsinha muito simples uai. Para resolver, devemos aplicar o método da substituição simples. Fazendo então:

$\large\displaystyle\begin{aligned} \begin{cases}u=\sin ^2(\theta)\\ du = \cos (\theta) d \theta \end{cases} \Rightarrow \int \frac{\cos(\theta)}{sin^2(\theta)}d\theta\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \frac{1}{4}\cdot \int \frac{\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)}\ d\theta = \frac{1}{4} \cdot \int \frac{du}{u^2}\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \frac{1}{4}\cdot \int \frac{\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)}\ d\theta = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u} +k\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \frac{1}{4}\cdot \int \frac{\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)}\ d\theta = \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{\sin(\theta)} + k \end{aligned}$

Perceba que a nossa resposta está em theta, mas não podemos deixar assim. Para passar para x devemos recorer a um triângulo, infelizmente não consigo desenhar aqui no latex, então vou fazer direto e a resposta será:

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\therefore \boxed{\boxed{\green{\int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 + 2^2}} dx = \frac{-\sqrt{x^2+4}}{4x} + k, k\in \mathbb{R}}}}\end{aligned} }$

Veja mais sobre:

Integrais indefinidas.

$\blue{\square}$ brainly.com.br/tarefa/48400075