Question

(UEL) Uma função f, do 2°grau, admite as raízes -1/3 e 2 e seu gráfico intercepta o eixo y no ponto (0;-4). É correto afirmar que o valor 

a) mínimo de f é -5/6 
b) máximo de f é -5/6 
c) mínimo de f é -13/3 
d) máximo de f é -49/9 
e) mínimo de f é -49/6

Answer 1

$f(x)=ax^{2}+bx+c$
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Ponto (0,-4): x = 0 e f(x) = - 4:

$f(x)=ax^{2}+bx+c\\f(0)=a.0^{2}+b.0+c\\-4=c$

$\boxed{f(x)=ax^{2}+bx-4}$
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Raízes: -1/3 e 2

Sabemos que as raízes fazem f(x) = 0: (-1/3,0) e (2,0)

Ponto (-1/3,0):

$f(x)=ax^{2}+bx-4\\0=a(-1/3)^{2}+b(-1/3)-4\\0=a(1/9)-(b/3)-4\\0=(a/9)-(b/3)-4$

Multiplicando a equação por 9:

$9.0=9.(a/9)-9.(b/3)-9.4\\0=a-3b-36\\a-3b=36$

Ponto (2,0):

$0=a.2^{2}+b.2-4\\4a+2b-4=0~~~~(\div 2)\\2a+b-2=0\\2a+b=2$

Sistema:

$\left \{ {{a-3b=36} \atop {2a+b=2}} \right.$

Multiplicando a primeira equação por -2:

$\left \{ {{-2a+6b=-72} \atop {2a+b=2}} \right.$

Somando as equações:

$-2a+2a+6b+b=-72+2\\7b=-70\\b=-70/7\\b=-10$

$2a+b=2\\2a-10=2\\2a=2+10\\2a=12\\a=12/2\\a=6$

$f(x)=ax^{2}+bx-4\\\\\boxed{\boxed{f(x)=6x^{2}-10x-4}}$
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O coeficiente 'a' dessa função é positivo, logo a concavidade da parábola estará pra cima.

Parábolas com a > 0 têm ponto mínimo.

O ponto mínimo é o y do vértice, que pode ser calculado como f(Xv), onde Xv é o x do vértice.

Calculando Xv:

$X_{v}=-b/2a\\X_{v}=-(-10)/(2*6)\\X_{v}=10/(2*6)\\X_{v}=5/6$

$Y_{v}=f(X_{v})\\Y_{v}=6(5/6)^{2}-10(5/6)-4\\Y_{v}=6(5/36)-(50/6)-(4.6/6)\\Y_{v}=1(25/6)-(50/6)-(24/6)\\Y_{v}=(25-50-24)/6\\Y_{v}=-49/6$

Letra E

P.S: Se preferir:

$Y_{v}=-\Delta/4a=-(b^{2}-4ac)/4a=(4ac-b^{2})/4a$