Question

Calcule o 6° termo no desenvolvimento de (a + 3b)⁹

gente, preciso de passo a passo, pois não entendi direito quando o prof explicou

Answer 1

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⠀⠀⠀☞ O sexto termo será 30.618·a⁴·b⁵. ✅

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⠀⠀⠀⭐⠀Para realizar este exercício vamos utilizar o triângulo de Pascal e a expansão de binômios.⠀⭐⠀  

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⠀⠀⠀➡️⠀O triângulo de Pascal pode ser construído, do topo 1 até a base, com cada elemento sendo a soma de seus dois elementos superiores diagonais. Vejamos:

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                        $\gray{\boxed{\sf\blue{~~\begin{array}{lcr}&&\\&\orange{0\qquad1\qquad0}&\\&\nwarrow\nearrow\;\;\nwarrow\nearrow&\\&\orange{~~0\qquad1\qquad1\qquad0~~}&\\&\nwarrow\nearrow\;\;\nwarrow\nearrow\;\;\nwarrow\nearrow&\\&\orange{0\qquad1\qquad2\qquad1\qquad0}&\\&\nwarrow\nearrow\;\;\nwarrow\nearrow\;\;\nwarrow\nearrow\;\;\nwarrow\nearrow&\\&\orange{0\qquad1\qquad3\qquad3\qquad1\qquad0}&\\&\nwarrow\nearrow\;\;\nwarrow\nearrow\;\;\nwarrow\nearrow\;\;\nwarrow\nearrow\;\;\nwarrow\nearrow&\\&\orange{0\qquad1\qquad4\qquad6\qquad4\qquad1\qquad0}&\\&\orange{[{\vdots}]\qquad[{\vdots}]\qquad[{\vdots}]\qquad[{\vdots}]\qquad[{\vdots}]\qquad[{\vdots}]\qquad[{\vdots}]}&\\&&\end{array}~~}}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Isto nos resulta no seguinte triângulo de Pascal (para 10 linhas). Vejamos:

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                             $\LARGE\gray{\boxed{\sf\blue{~~\begin{array}{lcr}&&\\&\orange{1}&\\&\orange{1\quad1}\\&\orange{1\quad2\quad1}&\\&\orange{1\quad3\quad3\quad1}&\\&\orange{1\quad4\quad6\quad4\quad1}&\\&\orange{[{\vdots}]\qquad[{\vdots}]\qquad[{\vdots}]\qquad[{\vdots}]}&\\&&\end{array}~~}}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Observe que estes valores também podem ser reescritos como sendo binômios em função da linha e da posição na linha:

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                         $\Large\gray{\boxed{\sf\blue{~~\begin{array}{lcr}&&\\&\orange{\binom{0}{0}}&\\&\orange{\binom{1}{0}\quad\binom{1}{1}}\\&\orange{\binom{2}{0}\quad\binom{2}{1}\quad\binom{2}{2}}&\\&\orange{\binom{3}{0}\quad\binom{3}{1}\quad\binom{3}{2}\quad\binom{3}{3}}&\\&\orange{\binom{4}{0}\quad\binom{4}{1}\quad\binom{4}{2}\quad\binom{4}{3}\quad\binom{4}{4}}&\\&\orange{[{\vdots}]\qquad[{\vdots}]\qquad[{\vdots}]\qquad[{\vdots}]\qquad[{\vdots}]}&\\&&\end{array}~~}}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Lembrando que:

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                            $\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{lcr}\green{\star}&&\green{\star}\\&\!\!\orange{\displaystyle\binom{\sf n}{\sf p} =\sf C_{n,p} = \dfrac{n!}{(n-p)! \cdot p!}}\!\!&\\\green{\star}&&\green{\star}\\\end{array}}}}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Mas qual é a importância disso tudo para o nosso problema? Uma das muitas utilidades do triângulo de Pascal é determinar os coeficientes de cada monômio que compõem a expansão de um binômio da forma (a ± b)ⁿ através da linha n + 1.

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⠀⠀⠀➡️⠀Conhecendo este coeficiente temos que a parte literal de cada monômio será formado por $\bf a^{(n+1)-i} \cdot b^{i-1}$ de forma que i é a posição do respectivo coeficiente de cada monômio, sendo 1 ≤ i ≤ n+1.

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⠀⠀⠀➡️⠀Por fim, sendo um binômio composto por uma soma então isto nos permite construir a seguinte lei de formação:

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                             $\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{lcr}\green{\star}&&\green{\star}\\&\!\!\orange{\bf (a+b)^n = \displaystyle\sum_{p=0}^n \bf\binom{_n}{^p} \cdot a^{(n-p)} \cdot b^{p}}\!\!&\\\green{\star}&&\green{\star}\\\end{array}}}}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀lembrando que o primeiro termo por essa equação é o termo 0 então o sexto termo é o termo 5, ou seja::

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$\LARGE\blue{\sf \binom{_9}{^5} \cdot a^{(9-5)} \cdot b^{5}}$

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{9!}{(9-5)! \cdot 5!} \cdot a^{4} \cdot (3b)^{5}}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \backslash\!\!\!{5}!}{4! \cdot \backslash\!\!\!{5}!} \cdot a^{4} \cdot 243b^{5} }}$

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{3.024}{24} \cdot a^{4} \cdot 243 \cdot b^{5}}$

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$\LARGE\blue{\sf 126 \cdot a^{4} \cdot 243 \cdot b^{5}}$

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                               $\LARGE\green{\boxed{\rm~~~\gray{n_6}~\pink{=}~\blue{ 30.618 \cdot a^4 \cdot b^5 }~~~}}$ ✅

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                             $\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

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⠀⠀☀️ L͎̙͖͉̥̳͖̭̟͊̀̏͒͑̓͊͗̋̈́ͅeia mais sobre expansão de binômios:

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                                     $\huge\blue{\text{\bf\quad Bons~estudos.}}$ ☕

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                                          $\quad\qquad(\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios})$ ☄

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                             $\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }\LaTeX}$✍

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                                                          $\Huge\green{\text{ \underline{\red{\mathbb{S}}\blue{\mathfrak{oli}}~}~\underline{\red{\mathbb{D}}\blue{\mathfrak{eo}}~}~\underline{\red{\mathbb{G}}\blue{\mathfrak{loria}}~} }}$ ✞

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