Question

Suponha que o processo de construção de um trecho de uma estrada tenha um custo fixo de R$10.000 e um custo marginal de C'(q)=1000+50q reais por metro, onde q é a distância em metros construída. Sabendo que C(0)=10000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se construir q metros é de:

Answer 1

O custo total para se construir q metros é dado por:

$\boxed{\boxed{C( q) =25q^{2} +1000q+10000}}$

A função custo marginal é a Derivada da função custo. Se conhecemos a derivada de uma função, e queremos encontrar a função original, utilizamos a integral indefinida, uma vez que:

$\int f'(x)dx=f(x)+c$

Então, para encontrar a função custo, vamos integrar a função custo marginal:

$\int 50q+1000dq=\int 50qdq+\int 1000dq$

A primeira integral é da forma

$\int ax^{n} dx$

e é resolvida da seguinte forma:

$\int ax^{n} dx=a\frac{x^{n+1}}{n+1} +c,n\neq -1 \\ \\ \therefore \int 50qdq=50\cdotp \frac{q^{2}}{2} +c=25q^{2} +c$

A segunda integral é da forma

$\int kdx,k\in \mathbb{R}$

E temos a seguinte propriedade:

$\int kdx=kx+c \\ \\ \therefore \int 1000dq=1000q+c$

Assim, a função custo é uma função da forma:

$C( q) =25q^{2} +1000q+c</p><p>$

A constante c nos foi dada pelo enunciado. É o custo fixo de R$ 10.000. Portanto a função custo é

$\boxed{\boxed{C( q) =25q^{2} +1000q+10000}}$