Question

01- Calcule o comprimento do arco d, sabendo que a circunferência tem raio igual a 10 cm​.

Answer 1

O comprimento do arco d é de $\boldsymbol{ \textstyle \sf d = 8,72\: cm }$.

Considerando o ângulo central $\boldsymbol{ \displaystyle \sf A \hat{O}B}$ de media $\boldsymbol{ \displaystyle \sf \alpha}$ rad e  $\boldsymbol{ \displaystyle \sf \overset{\frown}{AB}}$ o arco correspondente de comprimento $\boldsymbol{ \displaystyle \sf \ell }$:

Vide a figura em anexo:

• $\textstyle \sf \alpha \to$ medida do arco  ângulo central corresponde em rad;
• $\textstyle \sf \ell \to$ comprimento do arco;
• $\textstyle \sf r \to$ raio da circunferência.

Usando a regra de três, temos:

$\displaystyle \sf \begin{array}{ccc}\text{ \sf comprimento linear (\: \ell \;) } & & \text{ \sf medida em rad (\; ^\circ \:) } \\\sf 2 \cdot \pi \cdot r & \to & \sf 360 \\\sf \ell & \to & \sf \alpha\end{array}$

$\displaystyle \sf \dfrac{2 \cdot \pi \cdot r}{\ell} = \dfrac{360^\circ}{ \alpha}$

$\displaystyle \sf 360^\circ \cdot \ell = \alpha \cdot 2 \cdot \pi \cdot r$

$\displaystyle \sf \ell = \frac{\alpha \cdot 2 \cdot \pi \cdot r}{360^\circ }$

$\boxed{\displaystyle \sf \ell = \frac{\alpha \cdot \pi \cdot r}{180^\circ } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\displaystyle \sf \begin{cases} \sf \ell = d = \:?\: cm \\ \sf r = 10\: cm \\ \sf \alpha = 50^\circ \\ \sf \pi =3,14 \end{cases}$

$\displaystyle \sf \ell = \frac{\alpha \cdot \pi \cdot r}{180^\circ }$

$\displaystyle \sf d = \frac{50^\circ \cdot 3,14 \cdot 10}{180^\circ }$

$\displaystyle \sf d = \frac{50^\circ \cdot 3,14 \cdot 10}{180^\circ }$

$\displaystyle \sf d = \frac{5 \cdot 3,14 }{18 }$

$\displaystyle \sf d = \frac{157 }{18 }$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \displaystyle \sf d = 8,72\: cm }}}$

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