Question

qual a resposta usando o teorema l. Hospital (lim)┬(x→∞) ⅇ^x/x^2

Answer 1

Resolução da questão, veja bem:

Regras de derivação usadas nessa questão:

$\Large\boxed{\boxed{\boxed{\sf{\blue{\dfrac{d}{dx}~[x^n]=n\cdot x^{n-1}}}}}}~;~\Large\boxed{\boxed{\boxed{\sf{\blue{\dfrac{d}{dx}~[e^x]=e^x}}}}}~\checkmark~$

Propriedades adicionais:

$\Large\boxed{\boxed{\boxed{\sf{\blue{c\cdot \infty=\infty}}}}}$

Calcular, utilizando a Regra de L'Hospital, o seguinte limite:

$\displaystyle\lim_{\sf{x\;\to\;\infty}}\left(\dfrac{\sf{e^x}}{\sf{x^2}}\right)=\dfrac{\infty}{\infty}$

A regra de L'Hospital é um tipo especial de artifício (pois usa derivada) que usamos para nos livrar de uma indeterminação no cálculo de limites. Nessa regra, devemos derivar o numerador e o denominador da expressão do limite.

ATENÇÃO : Não vamos fazer essa derivada pela regra do quociente pois não consideramos a fração inteira de uma vez. Primeiro derivamos o numerador e depois o denominador:

$\sf{\dfrac{(e^x)'}{(x^2)'}=\dfrac{e^x}{2x}}$

Com essa nova expressão, podemos retornar ao limite e verificar se ainda há indeterminação:

$\displaystyle\lim_{\sf{x\;\to\;\infty}}\left(\dfrac{\sf{e^x}}{\sf{2x}}\right)=\sf{\dfrac{\infty}{\infty}}$

Percebemos que ainda teremos a indeterminação do tipo  $\sf{\infty/\infty}$. Vamos então aplicar L'Hospital novamente:

$\sf{\dfrac{(e^x)'}{(2x)'}=\dfrac{e^x}{2}}$

Com essa nova expressão, podemos retornar ao limite e verificar se ainda há indeterminação:

$\displaystyle\lim_{\sf{x\;\to\;\infty}}\left(\dfrac{\sf{e^x}}{\sf{2}}\right)=\sf{\dfrac{1}{2}}\cdot \displaystyle\lim_{\sf{x\;\to\;\infty}}\left(\sf{e^x}\right)\\ \\ \\ \sf{L=\dfrac{1}{2}\cdot \infty}\\ \\ \\ \large\boxed{\boxed{\bf{\blue{L=\bf{\infty}}}}}~\checkmark~$

Ou seja, teremos que o limite em questão resulta em infinito.

Espero que te ajude!!

Bons estudos!!