Question

Ar entra no duto de um sistema de ar condicionado a 100 kPa e 10 °C com vazão volumétrica de
15m3
/min. O diâmetro do duto é de 24 cm, e o calor é transferido para o ar no duto a partir do meio
externo a uma taxa de 2 kW.
Determine:
(a) a velocidade do ar na entrada do duto e
(b) a temperatura do ar na saída.

Answer 1

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⠀⠀⠀☞ a) 5,53 [m/s]; ✅

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⠀⠀⠀☞ b) 16,5 [ºC]. ✅  

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⠀⠀⠀⭐⠀Para realizar este exercício utilizaremos o fluxo constante de fluídos, o fluxo de massa, a variação da entalpia e a equação de Clapeyron.⠀⭐⠀

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⠀⠀⠀➡️⠀Considerando que em 1 segundo temos um volume de ar = 15/60 = 0,25 [m³] de formato cilíndrico dentro do tubo (de diâmetro 0,24 [m]) então devemos nos perguntar: qual deve ser a largura deste cilindro que resulta neste volume? Pela equação do volume de um cilindro na notação de fluxo (V̇ = πr²ḣ) e considerando π = 3,14 temos que:  

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$\LARGE\blue{\sf 0{,}25 = 3{,}14 \cdot 0{,}12^2 \cdot \dot{h}}$  

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$\LARGE\blue{\sf 0{,}25 = 0{,}045216 \cdot \dot{h}}$  

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$\LARGE\blue{\text{ \sf \dot{h} = \dfrac{0{,}25}{0{,}045216} }}$  

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$\LARGE\blue{\sf \dot{h} = 5,53~[m/s]}$  

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                               $\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{v}~\pink{=}~\blue{ 5{,}53~[m/s] }~~~}}$ ✅

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⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ ⠀⠀⠀✍

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⠀⠀⠀☔⠀A energia (Θ) de um sistema compressível simples consiste na soma da energia interna (u), cinética (v²/2) e potencial (g·z). Se esta energia for de um um fluído com fluxo então teremos também uma energia de fluxo (P·v). Sendo a entalpia (h) a soma da energia interna com a energia de fluxo então temos que a energia deste sistema pode ser expressa da forma Θ = h + V²/2 + gz. A grandeza desta energia é [J/Kg].

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⠀⠀⠀☔⠀Temos que a energia de transporte de massa é dada pelo produto da massa (Kg) pela energia do sistema (Θ). Se pensarmos então na taxa (ou fluxo) de energia de transporte de massa teremos o produto da taxa de massa pela energia do sistema.

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⠀⠀⠀☔⠀Vamos observar agora o comportamento de um sistema de fluxo  constante. Nele temos que o fluxo é constante independente do tempo, ou seja, todo o fluxo de energia Ė de entrada é igual ao fluxo de energia  Ė de saída. Sabemos que tanto o fluxo de entrada quanto de saída podem ser compostos por transferências de calor, trabalho e massa somente, ou seja: Q̇₁ + Ẇ₁ + ṁ₁·(h₁ + V₁²/2 + g₁z) = Q̇₂ + Ẇ₂ + ṁ₂·(h₂ + V₂²/2 + g₂z). Ao resolvermos exercícios normalmente desconsideramos a variação das energias cinéticas e potenciais (a não ser que esteja explícito no enunciado um valor significativo para elas). Com isto temos que:

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                               $\Large\gray{\boxed{\bf\blue{~~\Delta\dot{Q} + \Delta\dot{W} = -\dot{m}\cdot \Delta h ~~}}}$

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⠀ ⠀ ➡️⠀ Para este exercício temos que Q̇₁ = Q̇₂ = Ẇ₂ = 0. Sendo assim nossa equação é da forma:

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                                       $\qquad\LARGE\gray{\boxed{\bf\blue{~~\dot{W}_1 = \dot{m}\cdot \Delta h~~}}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Lembrando também que a variação da entalpia, para gases ideais em sistemas de fluxo constante, pode ser encontrada pelo produto do calor específico isobárico pela variação de temperatura: Δh = cp · (T₂ - T₁), sendo o cp do ar aproximadamente 1,005 [J/(Kg·ºC)]. Sendo assim podemos reescrever nossa função da seguinte forma:

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                                $\Large\gray{\boxed{\bf\blue{~~\dot{W}_1 = \dot{m}\cdot c_p \cdot (T_f - T_i)~~}}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Vamos portanto encontrar a taxa do fluxo de massa através do volume específico pela equação de Clapeyron:

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                                  $\LARGE\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{lcr}\green{\star}&&\green{\star}\\&\orange{\sf P \cdot v = n \cdot R \cdot T}&\\\green{\star}&&\green{\star}\\\end{array}}}}}$  

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⠀⠀⠀➡️⠀Para o ar temos que R ≈ 287 [m³·Pa/(K·Kg)]:

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$\LARGE\blue{\text{ \sf \dfrac{V_i}{n} = \dfrac{0{,}287 \cdot 283}{100.000} }}$

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{V_i}{n} = 8{,}1221 \cdot 10^{(-4)}~[m^3/Kg]}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Em termos do volume específico, temos:

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$\LARGE\blue{\text{ \sf 8{,}1221 \cdot 10^{(-4)} = \dfrac{\dot{V}}{\dot{m}} }}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf \dot{m} = \dfrac{0{,}25}{8{,}1221 \cdot 10^{(-4)}} }}$

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$\LARGE\blue{\sf \dot{m} \approx 307{,}802~[Kg/s]}$  

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⠀⠀⠀➡️⠀Retornando, finalmente, para nossa equação temos:

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$\large\blue{\sf 2.000 = 307{,}802 \cdot 1{,}005 \cdot (T_f - 10)}$

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{2.000}{309,34} \approx T_f - 10}$

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$\LARGE\blue{\sf 6{,}46 \approx T_f - 10}$

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$\LARGE\blue{\sf T_f \approx 10 + 6{,}46}$  

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                                $\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{T_f}~\pink{\approx}~\blue{ 16{,}5~[^{\circ}C] }~~~}}$ ✅  

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                             $\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

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