Question

Calcule a integral
$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\int e^x\left[f(x) + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}f(x)\right]dx\end{gathered} }$
Usando o resultado acima calcule
$\Large\displaystyle\begin{gathered}\int e^x\arctan \left(\ln \left|x\right|\right)dx + \int \frac{e^x}{x\left(\ln^2\left|x\right| + 1\right)}dx\end{gathered}$

Answer 1

• A solução dessa integral se encontra no final da resolução.

Dada a integral: $\large\displaystyle\begin{aligned} \int e^x \left[ f(x) + \frac{d}{dx} f(x) \right] dx \end{aligned}$, temos que:

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int e^x \left[ f(x) + \frac{d}{dx} f(x) \right] dx = \int e^x f(x) + e^x \frac{d}{dx} f(x)\ dx \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int e^x f(x) + e^x \frac{d}{dx} f(x)dx = \underbrace{\int e^x f(x)\ dx}_{integral\ p/partes.} + \int e^x \frac{d}{dx} f(x)\ dx\end{aligned}$

Tendo em vista que queremos sumir com a derivada, logo, devemos escolher  o d/dx f(x) dx para ser o dv pois o v será a integral do mesmo.

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int e^x f(x) + e^x \frac{d}{dx} f(x) dx = \int e^x f(x) dx+ \int e^x \frac{d}{dx} f(x) dx\end{aligned}$

• Resolvendo a primeira integral:

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int e^x f(x) dx = f(x) e^x - \int e^x \frac{d}{dx} f(x) dx\end{aligned}$

Perceba que não iremos precisar integrar de novo, pois ficará:

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int e^x f(x) + e^x \frac{d}{dx} f(x) dx = \int e^x f(x) dx+ \int e^x \frac{d}{dx} f(x) dx\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int e^x f(x) + e^x \frac{d}{dx} f(x) dx = f(x) e^x-\int e^x\frac{d}{dx}f(x)dx+ \int e^x \frac{d}{dx} f(x) dx\end{aligned}$

• Perceba que iremos cortar aquelas duas integrais cabulosas ali. Logo, o resultado será:

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int e^x f(x) + e^x \frac{d}{dx} f(x) dx= f(x) e^x-\int e^x\frac{d}{dx}f(x)dx+ \int e^x \frac{d}{dx} f(x) dx\end{aligned}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \therefore \boxed{\boxed{\green{\int e^x \left[ f(x) + \frac{d}{dx} f(x) \right] dx = f(x)e^x + k}}} \end{aligned} }$

Mas como o senhor Lionelson não curte tarefa izi demais, ele mandou calcular aquele trem todo ali com o resultado que temos em mãos. Então sin bora! Dado que:

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int e^x \arctan (\ln|x|) dx + \int \frac{e^x}{x(\ln^2|x| +1)}dx\end{aligned}$

Lembrando que a soma das integrais é a integral da soma. Logo:

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int e^x \arctan (\ln|x|) dx + \int \frac{e^x}{x(\ln^2|x| +1)}dx\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int e^x \arctan (\ln|x|) + \frac{e^x}{x(\ln^2|x| +1)}dx\end{aligned}$

• Colocando o e^x em evidência, temos:

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int e^x \left[\arctan (\ln|x|) + \frac{1}{x(\ln^2|x| +1)}\right]dx\end{aligned}$

Perceba que o arctan( ln|x| ) dx é o f(x) e o 1/x(ln² |x| + 1 ) é o f'(x). Logo, essa integral será igual a:

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int e^x \left[\arctan (\ln|x|) + \frac{1}{x(\ln^2|x| +1)}\right]dx\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int e^x \left[f(x) + \frac{d}{dx} f(x)\right]dx\end{aligned}$

• Perceba que incrível! aquela integral cabulosa é igua aquela integral inicial. Logo:

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \therefore\boxed{\boxed{\green{\int e^x \arctan (\ln|x|) dx + \int \frac{e^x}{x(\ln^2|x| +1)}dx = \arctan \ln(|x| )e^x + k}}}\end{aligned} }$

Veja mais sobre:

Integrais do henrico.

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