Question

determine para quais valores de x a função y= -4x^2 + 2x é positivo

Answer 1

Estudar o sinal da função quadrática $\boldsymbol{ \textstyle \sf f(x) = ax^{2} + bx +c }$ significa determinar os valores reais de x para os quais:

• a função é positiva $\boldsymbol{ \textstyle \sf f(x) > 0 }$;
• a função é negativa $\boldsymbol{ \textstyle \sf f(x) < 0 }$;
• a função se anula $\boldsymbol{ \textstyle \sf f(x) = 0 }$.

O estudo do sinal da função quadrática vai depender  do discriminante $\boldsymbol{ \textstyle \sf \Delta = b^2 - 4ac }$ e do coeficiente a.

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\displaystyle \sf y = -\; 4x^{2} +2x$

$\displaystyle \sf Coeficientes: \begin{cases} \sf a = -\: 4\\ \sf b = 2 \\ \sf c = 0 \end{cases}$

$\boldsymbol{ \displaystyle \sf a = -\; 4 < 0 } \to$ concavidade voltada para baixo, ponto máximo.

 

Determinar o valor do Δ:

$\displaystyle \sf \Delta = b^2 -\:4ac$

$\displaystyle \sf \Delta = 2^2 -\:4 \cdot 1 \cdot 0$

$\displaystyle \sf \Delta = 4 -0$

$\displaystyle \sf \Delta = 4$

$\boldsymbol{ \displaystyle \sf \Delta = 4 > 0 \to }$ admite duas raízes e a parábola intersecta o eixo x em dois pontos.

$\displaystyle \sf x = \dfrac{-\,b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \dfrac{-\,2 \pm \sqrt{ 4 } }{2\cdot (-4)}$

$\displaystyle \sf x = \dfrac{-\,2 \pm 2 }{ -\; 8} \Rightarrow\begin{cases} \sf x_1 = &\sf \dfrac{-\,2 + 2}{-\:8} = \dfrac{0}{-\: 8 } = \:0 \\\\ \sf x_2 = &\sf \dfrac{-\,2 - 2}{-\;8} = \dfrac{- \:4}{-\:8} = \dfrac{1}{2} \end{cases}$

Vide a figura em anexo:

$\displaystyle \sf f(x) = 0 \: \; {\text{\sf para }} \: x_1 = 0 \: \: {\text{\sf e }}\: \: x_2 = \dfrac{1}{2}$

$\displaystyle \sf f(x) < 0 \: \: {\text{\sf para }} \: x > 0 \: \: {\text{\sf ou }}\: \: x > \dfrac{1}{2}$

$\displaystyle \sf f(x) > 0 \: \: {\text{\sf para }} \: 0 < x < \dfrac{1}{2}$

O dado do enunciado pede o positivo.

$\boldsymbol{\displaystyle \sf S = \left \{x\in\mathbb{R}\mid 0 < x < \dfrac{1}{2} \right\} }$

Mais conhecimento  acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/30950497

https://brainly.com.br/tarefa/22907174

https://brainly.com.br/tarefa/6059557