Question

provar que a $\sqrt{x-y} \leq \frac{x+y}{2}$ ∀ x,y ∈ $R^{+}$

Answer 1

$a=x-y\\ b=x+y\\ b>a\\ \sqrt{a} \leq \frac{b}{2} \\ b \geq 2 \sqrt{a}$
Sempre a soma de números positivos será maior que a subtração entre os mesmos.
Logo b > a sempre.
E a terá que ser sempre positivo.
Como b sempre será maior que a e pertence ao conjunto dos reais positivos, qualquer valor para raiz de a multiplicado por 2 será menor ou igual a b.

$b \geq 2 \sqrt{a}\\ x+y \geq 2 \sqrt{x-y}$

E se ainda tiver dúvidas só testar alguns números
$3+2 \geq 2 \sqrt{3-2} \\ 5 \geq 2\\\\ 13+7 \geq 2 \sqrt{13-7} \\ 20 \geq 4,89$