Question

) A Transformação é Linear? Comprove sua resposta por meio da aplicação da conservação, ou não, das Operações de Soma e Multiplicação.
b) Qual o Núcleo de T [ Ker(T) ]?
c) Qual a dimensão do Núcleo [ dim(Ker) ]? A Transformação é injetora?
d) Qual a Imagem de T [ Im(T) ]?
e) Qual a dimensão da Imagem [ dim(Im) ]? A Transformação é sobrejetora?
f) Qual a matriz da Transformação?
g) Quais seus autovalores?
h) Quais seus autovetores?
O

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

A) A Transformação é Linear? Comprove sua resposta por meio da aplicação da conservação, ou não, das Operações de Soma e Multiplicação.

• ç 1:

(⃗ ) = . (⃗ )

Sabemos que:

= ( + + , − + ; + − )

Logo,

(, , ) = ( + + ; − + ; + − )

(, , ) = (( + + ); ( − + ); ( + − ))

(, , ) = ( + + ; − + ; + − )

(, , ) = (, , )

ç 2:

(⃗ + ) = (⃗ ) + ( )

Sabemos que:

= ( + + , − + ; + − )

Assumindo que:

⃗ = (1, 1, 1)

= (2, 2, 2)

Então

⃗ + = (1 + 2, 1 + 2, 1 + 2)

Logo,

(⃗ ) = (1 + 1 + 1, 1 − 1 + 1, 1 + 1 − 1 )

( ) = (2 + 2 + 2, 2 − 2 + 2, 2 + 2 − 2)

(⃗ + ) = ((1 + 2) + (1 + 2) + (1 + 2), (1 + 2) − (1 + 2) + (1 + 2), (1 + 2) + (1 + 2)

− (1 + 2))

(⃗ + ) = ((1 + 1 + 1) + (2 + 2 + 2), (1 − 1 + 1) + (2 − 2 + 2) + ( 1 + 1 − 1) + ( 2 + 2 − 2))

(⃗ + ) = ((1 + 1 + 1), (1 − 1 + 1), ( 1 + 1 − 1)) + ((2 + 2 + 2) + (2 − 2 + 2) + ( 2 + 2 − 2))

(⃗ + ) = (⃗ ) + ( )

b) Qual o Núcleo de T [ Ker(T) ]?

() = { ∈∪ | (⃗ ) = 0}

Logo,

(, , ) = 0

( + + , − + ; + − ) = 0

{

+ + = 0 (1)

− + = 0 (2)

+ − = 0 (3)

Somando (2) e (3)

{ + + = 0

2 = 0 → = 0

Logo:

= −

Então, usando (3):

+ + = 0

0 + (−) − = 0

−2 = 0

= 0

Logo,

= 0

Então:

(, , ) = (0,0,0)

Logo:

() = {(0,0,0)}

c) Qual a dimensão do Núcleo [ dim(Ker) ]? A Transformação é injetora?

O núcleo é apenas um ponto. Logo, a dimensão é nula.

Como () = 0 → a transformação é injetora.

d) Qual a Imagem de T [ Im(T) ]?

= ( + + , − + ; + − )

() = {(, , ) + (, −, ) + (, , −) }

() = {(1, 1, 1) + (1, −1, 1) + (1, 1, −1)}, , , ℝ

e) Qual a dimensão da Imagem [ dim(Im) ]? A Transformação é sobrejetora?

A imagem possui três variáveis independentes. Logo, sua dimensão é:

, () = 3

Logo, é sobrejetora pois:

, () = ã í

f) Qual a matriz da Transformação?

Transformação nos vetores de base canônica:

• (1, 0, 0) = (1, 1, 1)

• (0, 1, 0) = (1, − 1, 1)

• (0, 0, 1) = (1, 1, −1)

Logo, a matriz será:

=         (1        1        1

               1      -1        1

               1        1      −1)

g) Quais seus autovalores?

( − ) = (     1 −           1                   1

                                   1               −1 −            1

                                   1                  1                 −1 − )

( − ) = −3−2 + 4 + 4 = 0

−3−2 + 4 + 4 = 0

Resolvendo a equação acima, tem-se os seguintes autovalores:

• 1 = −1

• 2 = −2

• 3 = 2

h) Quais seus autovetores?

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