Question

a função f:r-r satisfaz a igualdade de f(2x + 1)=10.f(x) -3 para todo x real. Se f(31)=0, então o valor f(0) é igual a:

Answer 1

Temos uma função $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$ definida recursivamente de forma que, para todo $x\in \mathbb{R},$

$f(2x+1)=10\cdot f(x)-3~~~~~~\mathbf{(i)}$


Temos que $f(31)=0~~~~\mathbf{(ii)}.$


Portanto,

$\bullet\;\;$ Para $2x+1=31:$

$2x=31-1\\ \\ 2x=30\\ \\ x=15$


Substituindo em $\mathbf{(i)},$ temos

$f(31)=10\cdot f(15)-3\\ \\ 0=10\cdot f(15)-3\\ \\ f(15)=\dfrac{3}{10}~~~~~~\mathbf{(iii)}$


$\bullet\;\;$ Para $2x+1=15:$

$2x=15-1\\ \\ 2x=14\\ \\ x=7$


Substituindo em $\mathbf{(i)},$ temos

$f(15)=10\cdot f(7)-3\\ \\ \dfrac{3}{10}=10\cdot f(7)-3\\ \\ \\ 10\cdot f(7)=\dfrac{3}{10}+3\\ \\ \\ 10\cdot f(7)=\dfrac{3}{10}+\dfrac{30}{10}\\ \\ \\ 10\cdot f(7)=\dfrac{33}{10}\\ \\ \\ f(7)=\dfrac{33}{100}~~~~~~\mathbf{(iv)}$


$\bullet\;\;$ Para $2x+1=7:$

$2x=7-1\\ \\ 2x=6\\ \\ x=3$


Substituindo em $\mathbf{(i)},$ temos

$f(7)=10\cdot f(3)-3\\ \\ \dfrac{33}{100}=10\cdot f(3)-3\\ \\ \\ 10\cdot f(3)=\dfrac{33}{100}+3\\ \\ \\ 10\cdot f(3)=\dfrac{33}{100}+\dfrac{300}{100}\\ \\ \\ 10\cdot f(3)=\dfrac{333}{100}\\ \\ \\ f(3)=\dfrac{333}{1\,000}~~~~~~\mathbf{(v)}$


$\bullet\;\;$ Para $2x+1=3:$

$2x=3-1\\ \\ 2x=2\\ \\ x=1$


Substituindo em $\mathbf{(i)},$ temos

$f(3)=10\cdot f(1)-3\\ \\ \\ \dfrac{333}{1\,000}=10\cdot f(1)-3\\ \\ \\ 10\cdot f(1)=\dfrac{333}{1\,000}+3\\ \\ \\ 10\cdot f(1)=\dfrac{333}{1\,000}+\dfrac{3\,000}{1\,000}\\ \\ \\ 10\cdot f(1)=\dfrac{3\,333}{1\,000}\\ \\ \\ f(1)=\dfrac{3\,333}{10\,000}~~~~~~\mathbf{(vi)}$


$\bullet\;\;$ Para $2x+1=1,$ finalmente, temos

$2x=1-1\\ \\ 2x=0\\ \\ x=0$


Substituindo em $\mathbf{(i)},$ temos

$f(1)=10\cdot f(0)-3\\ \\ \dfrac{3\,333}{10\,000}=10\cdot f(0)-3\\ \\ \\ 10\cdot f(0)=\dfrac{3\,333}{10\,000}+3\\ \\ \\ 10\cdot f(0)=\dfrac{3\,333}{10\,000}+\dfrac{30\,000}{10\,000}\\ \\ \\ 10\cdot f(0)=\dfrac{33\,333}{10\,000}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c} f(0)=\dfrac{33\,333}{100\,000} \end{array}}$