Question

A existência de Lim(1+1/n)^n quanto n -> ∞​

Answer 1

Esse limite $\boxed{\boxed{\sf lim(1+\frac{1}{n})n\to\infty }}$ é irracional.

Resolução

Para saber se esse limite existe primeiramente nós temos que mostrar que a sequência $\sf \displaystyle \sf S_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots + \frac{1}{n!}, n=1,2,3\cdots$ converge para um limite á medida de $\sf n$ cresce indefinidamente. Esta soma aumente com cada termo adicional, e assim temos $\sf S_n<S_{n+1}$ para todo aumenta monotonamente. Começando com  $\sf n=3$, também teremos $\sf n!=1\cdot2\cdot3 ~...\cdot n>1\cdot2\cdot2 \cdot ...2=2^{n-1}$ então:

$\sf \displaystyle \sf S_n<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+ \cdots +\frac{1}{2^{n-1}}~ Para~n=3,4,5\cdots$

Agora, nesta última soma, os termos a partir do segundo formam uma PG com razão $\sf \dfrac{1}{2}$ . O somatório dessa PG é $\sf \dfrac{\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right) }{\left(1-\dfrac{1}{2} \right)} =2\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right)<2$ Daí teremos que $\sf S_n<1+2=3$, Mostrando que a sequência $\sf S_n$ é limitada superiormente por 3 ou seja os valores de $\sf S_n$ nunca excedem em 3. Agora utilizaremos o teorema de análise(Toda sequência monótona crescente e limitada, tende para um limite quando $\sf N\to\infty$. Então $\sf S_n$ Converge para um limite S ou seja S encontra-se entre 2 e 3.

Agora Vamos considerar a sequência $\sf T_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$. Agora nós temos que essa sequência também converge para o mesmo limite de $\sf S_n$, Para isso vamos usar o teorema Binomial >

$\sf \displaystyle \sf T_n=1+n\cdot\dfrac{1}{n} + \frac{n(n-1)}{2!} \cdot \frac{1}{n^2} +\cdots + \frac{n(n-1)(n-2)\cdots1}{n!} \cdot \frac{1}{n^n}=1=1+\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\frac{1}{2!}+\cdots$

$\sf \displaystyle \sf \left(1-\frac{1}{n}\right) \left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots \left(1-\frac{n-1}{n} \right)\cdot\frac{1}{n!}$

Como a expressão dentro de cada par de parênteses é menor que 1, então $\sf T_n \leq S_n,n=2$, Então, a sequência $\sf T_n$ também tem um limite superior. Além disso  onótona crescente, por que substituir n por b=1 só vai fazer a soma aumentar, Então $\sf T_n$ também converge para um limite á medida que  $\sf N\to\infty$.

Agora Temos $\sf S=T$. Como $\sf S_n \geq T_n$ para todo n, teremos $\sf S\geq T$. Agora Vamos demostrar que, ao mesmo tempo $\sf S\leq T$. Seja $\sf m<n$ um número fixo. Os primeiros termos $\sf m=1~de ~T_n$ são:

$\displaystyle \sf 1=1+\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\frac{1}{2!}+\cdots\sf \displaystyle \sf \left(1-\frac{1}{n}\right) \left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots \left(1-\frac{n-1}{n} \right)\cdot\frac{1}{n!}$

Como $\sf m<n$ e todos os termos são positivos, então a última soma é menor que $\sf T_n$, Então vamos deixar n aumentar sem limite enquanto mantermos m fixo. A soma tenderá para $\sf S_n$ enquanto $\sf T_n$ tenderá para T. então temos $\sf S_m\leq T$, e, consequentemente, $\sf S\leq T$. Como já provamos que $\sf S\geq T$, então $\sf S=T$, que é exatamente o que queremos Provar. Então T é o número ''e''.

Agora vamos provar que ''E'' é irracional, Para isso vamos fazer $\sf e=\dfrac{p}{q}$, pois p e q são inteiros, Já mostramos que $\sf 2<~e <3$, assim ''e'' não pode ser inteiro e consequentemente o denominador q deve ser pelo menos 2. Agora vamos resolver a equação:

$\sf \displaystyle \sf e=1+\dfrac{1}{1!}+\frac{1}{2!} + \frac{1}{3!}+\cdots + \frac{1}{n!} \cdots$ por $\sf q!=1\cdot2\cdot3 \cdot ... \cdot q$ pelo lado esquerdo, então isso nos dá:

$\sf \displaystyle \sf e\cdot q!=\left(\frac{p}{q} \right)\cdot1\cdot2\cdot3 \cdot ... \cdot q=p\cdot1\cdot2\cdot3\cdot .. \cdot (q-1)$

Enquanto no lado direito temos:

$\displaystyle \sf [q!+q!+3\cdot4\cdot ... \cdot q +4\cdot5\cdot...\cdot+(q-1)\cdot q+q+1]+\frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)(q+2)}+\cdots$

O lado esquerdo é obviamente é inteiro, porque trata-se de um produto de inteiros. No lado direito a expressão dentro das chaves também é inteiro. Mas os termos remanescentes são são inteiros porque cada denominador é pelo menos 3. Agora vamos mostra que sua soma, também não é um inteiro. Como $\sf q\geq 2$, temos:

$\displaystyle \sf \frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)(q+2)}+\cdots\leq \frac{1}{3}+\frac{1}{3\cdot4} +\cdots <\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\cdots = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{3} }=\frac{1}{2}$

Com isso temos um inteiro no lado esquerdo da equação e um não inteiro no lado direito, obviamente uma contradição, Daí segue que ''e'' não pode ser uma razão entre dois inteiros ou seja ele é irracional.

$\Huge\underbrace{\sf The~Weeknd~A.K.A}$

 

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