Question

Em determinado ponto, é possível observar o topo de um prédio sob ângulo de 45° (M). Afastando-se 50 metros do prédio, atingimos outro ponto, de onde se vê o topo desse prédio segundo um ângulo de 30°(P), conforme mostra a figura. Calcule a altura do prédio

a) 75,5
b) 52,38
c) 50
d) 65,38
e) 66,28

Answer 1

Após conhecermos o resultado do cálculo podemos afirma que altura do prédio é de $\large \displaystyle \mathsf{ h = 68,25\: m }$.

As razões trigonométricas estão relacionadas com os ângulos de um triângulo retângulo.

O triângulo é considerado retângulo quando possui um ângulo reto, ou seja, com 90°.

Cálculo das razões trigonométricas:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \sf \sin{\theta} = \dfrac{ \text{ \sf {medida do cateto oposto ao {\^a}ngulo} }}{ \text{ \sf {medida da hipotenusa } } } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \sf \cos{\theta} = \dfrac{ \text{ \sf {medida do cateto adjacente ao {\^a}ngulo} }}{ \text{ \sf {medida da hipotenusa } } } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \sf \tan{\theta} = \dfrac{ \text{ \sf { medida do cateto oposto ao {\^a}ngulo} }}{ \text{ \sf {medida do cateto adjacente ao {\^a}ngulo } } } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

( Vide a figura em anexo}

Para o ângulo de 45°, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \sf \tan{\theta} = \dfrac{ \text{ \sf { medida do cateto oposto ao {\^a}ngulo} }}{ \text{ \sf {medida do cateto adjacente ao {\^a}ngulo } } } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \tan{45^\circ} = \dfrac{TS}{MS} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 1 = \dfrac{h}{x} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf h = x }$

Para o ângulo de 30°, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \sf \tan{\theta} = \dfrac{ \text{ \sf { medida do cateto oposto ao {\^a}ngulo} }}{ \text{ \sf {medida do cateto adjacente ao {\^a}ngulo } } } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \tan{30^\circ} = \dfrac{TS}{MS} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{ \sqrt{3} }{3} = \dfrac{h}{PM+MS} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{ \sqrt{3} }{3} = \dfrac{h}{50 + x} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{ \sqrt{3} }{3} = \dfrac{h}{50 + h} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 3h = h \cdot (\sqrt{3} + 50) } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 3h = h \: \sqrt{3} + 50 \: \sqrt{3} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 3h - h \: \sqrt{3} = 50 \: \sqrt{3} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ h \cdot (3 - \sqrt{3}) = 50 \: \sqrt{3} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ h = \dfrac{50\: \sqrt{3} }{3 - \sqrt{3} } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ h = \dfrac{50\: \sqrt{3} }{3 - \sqrt{3} } \cdot \dfrac{3 + \sqrt{3} }{ 3 + \sqrt{3} } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ h = \dfrac{ 3 \cdot 50\: \sqrt{3} +50\cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} }{3^2 - (\sqrt{3})^2 } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ h = \dfrac{ 150\: \sqrt{3} +50\cdot \sqrt{3^2} }{ 9 - 3 } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ h = \dfrac{ 150\: \sqrt{3} +50\cdot 3 }{ 6 } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ h = \dfrac{ 150\: \sqrt{3} +150 }{ 6 } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ h = \dfrac{ \diagup\!\!\!{ 150}\: ^{25}\: (\sqrt{3} +1) }{ \diagup\!\!\!{ 6}\:^1 } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ h = 25 \cdot (\sqrt{3} + 1) } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ h = 25 \cdot ( 1,73 + 1 ) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ h = 25 \cdot 2,73 }$

$\large \boxed{ \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf h = 68,25 \: m }} }$

O cálculo realizado não confere com nenhuma alternativa.

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